Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3538
2019-06-12 
На плоскости заданы окружность $s$ и прямая $l$, проходящая через центр $О$ окружности $s$. Через точку $О$ проводится произвольная окружность $s^{ \prime}$ с центром на прямой $l$. Найдите множество точек $М$, в которых общая касательная окружностей $s$ и $s^{ \prime}$ касается окружности $s^{ \prime}$.
Решение:
Пусть общая касательная $s$ и $s^{ \prime}$ касается окружности $s$ в точке $N$. Тогда $\angle NOM = \angle OMO_1 = \angle MOO_1$ ($ON \parallel O_1M$ и $OO_1 = O_1M$). Поэтому $\angle MQO$ прямой и прямая $MQ$ касается $s$ в точке $Q$ (рис.).
С другой стороны, через любую точку указанных в ответе прямых, не лежащую на $s$, можно провести окружность с центром на прямой проходящую через точку $О$.
Ответ: искомое множество точек $M$ касания - пара прямых, касающихся окружности $s$ в точках $P, Q$ ее пересечения с прямой $l$ (за исключением самих точек $P$ и $Q$).
На плоскости заданы окружность $s$ и прямая $l$, проходящая через центр $О$ окружности $s$. Через точку $О$ проводится произвольная окружность $s^{ \prime}$ с центром на прямой $l$. Найдите множество точек $М$, в которых общая касательная окружностей $s$ и $s^{ \prime}$ касается окружности $s^{ \prime}$.
Решение:
Пусть общая касательная $s$ и $s^{ \prime}$ касается окружности $s$ в точке $N$. Тогда $\angle NOM = \angle OMO_1 = \angle MOO_1$ ($ON \parallel O_1M$ и $OO_1 = O_1M$). Поэтому $\angle MQO$ прямой и прямая $MQ$ касается $s$ в точке $Q$ (рис.).
С другой стороны, через любую точку указанных в ответе прямых, не лежащую на $s$, можно провести окружность с центром на прямой проходящую через точку $О$.
Ответ: искомое множество точек $M$ касания - пара прямых, касающихся окружности $s$ в точках $P, Q$ ее пересечения с прямой $l$ (за исключением самих точек $P$ и $Q$).
