Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3537
2019-06-12 
На продолжениях сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ взяты точки $A^{ \prime}, B^{ \prime}, C^{ \prime}, D^{ \prime}$ так, что $\vec {BB^{ \prime}} = \vec {AB}, \vec {CC^{ \prime}} = \vec {BC}, \vec {DD^{ \prime}} = \vec {CD}$ и $\vec {AA^{ \prime}} = \vec {DA}$. Докажите, что площадь четырехугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ в 5 раз больше площади четырехугольника $ABCD$.
Решение:
Медиана делит площадь треугольника пополам. Поэтому (рис.) $S_{ABC} = S_{CBB^{ \prime}} = S_{CB^{ \prime}C^{ \prime}}$. Отсюда следует, что $S_{BB^{ \prime}C^{ \prime}} = 2S_{ABC}$.
Точно так же доказываются равенства $S_{CC^{ \prime}D^{ \prime}} = 2S_{BCD}$; $S_{DD^{ \prime}A} = 2S_{CDA}$; $S_{AA^{ \prime}B^{ \prime}} = 2S_{DAB}$.
Сложив эти 4 равенства, получим:
$S_{BB^{ \prime}C^{ \prime}} + S_{CC^{ \prime}D^{ \prime}} + S_{DD^{ \prime}A^{ \prime}} + S_{AA^{ \prime}В^{ \prime}} = 2 (S_{ABC} + S_{BCD} + S_{CDA} + S_{DAB}) = 4S$.
Поэтому $S_{A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}} = 4S + S = 5S$.
На продолжениях сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ взяты точки $A^{ \prime}, B^{ \prime}, C^{ \prime}, D^{ \prime}$ так, что $\vec {BB^{ \prime}} = \vec {AB}, \vec {CC^{ \prime}} = \vec {BC}, \vec {DD^{ \prime}} = \vec {CD}$ и $\vec {AA^{ \prime}} = \vec {DA}$. Докажите, что площадь четырехугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ в 5 раз больше площади четырехугольника $ABCD$.
Решение:
Медиана делит площадь треугольника пополам. Поэтому (рис.) $S_{ABC} = S_{CBB^{ \prime}} = S_{CB^{ \prime}C^{ \prime}}$. Отсюда следует, что $S_{BB^{ \prime}C^{ \prime}} = 2S_{ABC}$.
Точно так же доказываются равенства $S_{CC^{ \prime}D^{ \prime}} = 2S_{BCD}$; $S_{DD^{ \prime}A} = 2S_{CDA}$; $S_{AA^{ \prime}B^{ \prime}} = 2S_{DAB}$.
Сложив эти 4 равенства, получим:
$S_{BB^{ \prime}C^{ \prime}} + S_{CC^{ \prime}D^{ \prime}} + S_{DD^{ \prime}A^{ \prime}} + S_{AA^{ \prime}В^{ \prime}} = 2 (S_{ABC} + S_{BCD} + S_{CDA} + S_{DAB}) = 4S$.
Поэтому $S_{A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}} = 4S + S = 5S$.
