Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3535
2019-06-12 
Докажите, что для любых трех бесконечных последовательностей натуральных чисел
$a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots,$
$b_1, b_2, \cdots, b_n, \cdots,$
$c_1, c_2, \cdots, c_n, \cdots,$
найдутся такие номера $p$ и $q$, что $a_p \geq a_q, b_p \geq b_q, c_p \geq c_q$.
Решение:
Так как числа $a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ - натуральные, то существует такая последовательность номеров $i_1, i_2, \cdots, i_n, \cdots$, что $a_{i_1} \leq a_{i_2} \leq \cdots \leq a_{i_n} \leq \cdots$ ($a_{i_1}$ - наименьшее число последовательности $a_n, a_{i_2}$ - наименьшее из следующих и т. д.).Аналогично из последовательности номеров $i_1, i_2, \cdots, i_n, \cdots$ можно выбрать последовательность $j_1, j_2, \cdots, j_n, \cdots$, для которой
$b_{j_1} \leq b_{j_2} \leq \cdots \leq b_{j_n} \leq \cdots$.
Ясно при этом, что последовательность $a_{j_1}, a_{j_2}, \cdots, a_{j_n}, \cdots$ остается неубывающей. Теперь осталось из последовательности $c_{j_1}, c_{j_2}, \cdots, c_{j_n}, \cdots$ выбрать неубывающую последовательность $c_{k_1}, c_{k_2}, \cdots, c_{k_n}, \cdots$. Тогда
$a_{k_1} \leq a_{k_2} \leq \cdots \leq a_{k_n} \leq \cdots$,
$b_{k_1} \leq b_{k_2} \leq \cdots \leq b_{k_n} \leq \cdots$,
$c_{k_1} \leq c_{k_2} \leq \cdots \leq c_{k_n} \leq \cdots$,
откуда следует утверждение задачи.
В решении мы пользовались тем, что в любом (даже бесконечном) множестве натуральных чисел есть наименьшее число. Этот факт представляется очевидным; он эквивалентен принципу математической индукции.
Докажите, что для любых трех бесконечных последовательностей натуральных чисел
$a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots,$
$b_1, b_2, \cdots, b_n, \cdots,$
$c_1, c_2, \cdots, c_n, \cdots,$
найдутся такие номера $p$ и $q$, что $a_p \geq a_q, b_p \geq b_q, c_p \geq c_q$.
Решение:
Так как числа $a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ - натуральные, то существует такая последовательность номеров $i_1, i_2, \cdots, i_n, \cdots$, что $a_{i_1} \leq a_{i_2} \leq \cdots \leq a_{i_n} \leq \cdots$ ($a_{i_1}$ - наименьшее число последовательности $a_n, a_{i_2}$ - наименьшее из следующих и т. д.).Аналогично из последовательности номеров $i_1, i_2, \cdots, i_n, \cdots$ можно выбрать последовательность $j_1, j_2, \cdots, j_n, \cdots$, для которой
$b_{j_1} \leq b_{j_2} \leq \cdots \leq b_{j_n} \leq \cdots$.
Ясно при этом, что последовательность $a_{j_1}, a_{j_2}, \cdots, a_{j_n}, \cdots$ остается неубывающей. Теперь осталось из последовательности $c_{j_1}, c_{j_2}, \cdots, c_{j_n}, \cdots$ выбрать неубывающую последовательность $c_{k_1}, c_{k_2}, \cdots, c_{k_n}, \cdots$. Тогда
$a_{k_1} \leq a_{k_2} \leq \cdots \leq a_{k_n} \leq \cdots$,
$b_{k_1} \leq b_{k_2} \leq \cdots \leq b_{k_n} \leq \cdots$,
$c_{k_1} \leq c_{k_2} \leq \cdots \leq c_{k_n} \leq \cdots$,
откуда следует утверждение задачи.
В решении мы пользовались тем, что в любом (даже бесконечном) множестве натуральных чисел есть наименьшее число. Этот факт представляется очевидным; он эквивалентен принципу математической индукции.
