Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3530
2019-06-12 
а) Точки $A$ и $B$ движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно (по часовой стрелке). Докажите, что вершина С правильного треугольника $ABC$ также движется равномерно по некоторой окружности.
б) Расстояния от фиксированной точки $P$ плоскости до двух вершин $A, B$ равностороннего треугольника $ABC$ равны $AP = 2; BP = 3$. Определите, какое максимальное значение может иметь расстояние $CP$.
Решение:
а) Пусть $\vec {O_1O_3}$ - вектор, полученный поворотом $\vec {O_1O_2}$ на $60^{\circ}$ (в ту же сторону, что и поворот, переводящий $\vec {AB}$ в $\vec {AC}$, точки $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$ - образы $A$ и $B$ при том же повороте вокруг $O_1$. При равномерном вращении векторов $\vec {O_3B^{ \prime}}$ и $\vec {B^{ \prime}C} = \vec {A^{ \prime}A}$ с той же угловой скоростью будут вращаться. $\triangle O_1A^{ \prime}A$ - вокруг
$O_1$, векторы $\vec {O_3B^{ \prime}}$ и $\vec {B^{ \prime}C} = \vec {A^{ \prime}A}$, а значит и их сумма $\vec {O_3C}$ - вокруг $O_3$ (рис.).
б) Зафиксируем точку $B$ на расстоянии 3 от $P$ (рис.). При вращении точки $A$ по окружности радиуса 2 с центром $P$ вершина $C$ будет двигаться по окружности радиуса 2, центр которой $O$ расположен на расстоянии $OP = 3$ от $P$ ($\triangle OPB$ - равносторонний). Самая далекая точка этой окружности находится от $P$ на расстоянии $CO + OP = 5$.
Ответ: 5.
В доказываемом аналогично неравенстве $PC \leq AP + BP$ (для любого равностороннего треугольника $ABC$ и любой точки $P$) равенство достигается для всех точек $P$ дуги $AB$ описанной окружности $\triangle ABC$, не содержащей точку $С$.
а) Точки $A$ и $B$ движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно (по часовой стрелке). Докажите, что вершина С правильного треугольника $ABC$ также движется равномерно по некоторой окружности.
б) Расстояния от фиксированной точки $P$ плоскости до двух вершин $A, B$ равностороннего треугольника $ABC$ равны $AP = 2; BP = 3$. Определите, какое максимальное значение может иметь расстояние $CP$.
Решение:
а) Пусть $\vec {O_1O_3}$ - вектор, полученный поворотом $\vec {O_1O_2}$ на $60^{\circ}$ (в ту же сторону, что и поворот, переводящий $\vec {AB}$ в $\vec {AC}$, точки $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$ - образы $A$ и $B$ при том же повороте вокруг $O_1$. При равномерном вращении векторов $\vec {O_3B^{ \prime}}$ и $\vec {B^{ \prime}C} = \vec {A^{ \prime}A}$ с той же угловой скоростью будут вращаться. $\triangle O_1A^{ \prime}A$ - вокруг
$O_1$, векторы $\vec {O_3B^{ \prime}}$ и $\vec {B^{ \prime}C} = \vec {A^{ \prime}A}$, а значит и их сумма $\vec {O_3C}$ - вокруг $O_3$ (рис.).
б) Зафиксируем точку $B$ на расстоянии 3 от $P$ (рис.). При вращении точки $A$ по окружности радиуса 2 с центром $P$ вершина $C$ будет двигаться по окружности радиуса 2, центр которой $O$ расположен на расстоянии $OP = 3$ от $P$ ($\triangle OPB$ - равносторонний). Самая далекая точка этой окружности находится от $P$ на расстоянии $CO + OP = 5$.
Ответ: 5.
В доказываемом аналогично неравенстве $PC \leq AP + BP$ (для любого равностороннего треугольника $ABC$ и любой точки $P$) равенство достигается для всех точек $P$ дуги $AB$ описанной окружности $\triangle ABC$, не содержащей точку $С$.
