2014-06-07
Последовательность положительных чисел $a_{1},a_{2}, \cdots$ удовлетворяет неравенствам $a_{n}^{2} \leq a_{n} – a_{n+1}$ при $n \in \mathbf{N}$. Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ имеет место оценка $a_{n} < 1/n$.
Решение:
Докажем утверждение индукцией по $n$. При $n = 1$ имеем $a_{1}^{2} \leq a_{1} –a_{2} < a_{1}$, откуда $a_{1} < 1$. Кроме того,
$a_{2} \leq a_{1} – a_{1}^{2} = 1/4 - (a_{1} -1/2)^{2} \leq 1/4 < 1/2$,
т. е. $a_{n} < 1/n$ при $n = 2$. Пусть утверждение уже доказано для некоторого числа $n \geq 2$. Докажем его дли числа $n + 1$. Так как функции $f(x) = x – x^{2}$ возрастает на отрезке $[0; 1/2]$ и $a_{n} < 1/n$, то
$a_{n+1} \leq f(a_{n}) < f \left ( \frac{1}{n} \right ) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n^{2}(n+1)} < \frac{1}{n+1}$,
что и требовалось доказать.