Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3527
2019-06-12 
Докажите, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдется такое, у которого сумма цифр делится на 11.
Решение:
Среди первых двадцати из данных чисел найдутся два, у которых последняя цифра десятичной записи равна нулю.
Хотя бы у одного из этих двух чисел перед нулем стоит цифра, не равная 9. Пусть $N$ - это число, $s$ - сумма его цифр.
Тогда числа $N, N + 1, \cdots, N + 9, N + 19$ содержатся среди данных 39 и имеют суммы цифр $s, s + 1, s + 2, \cdots, s + 10$. Но среди одиннадцати последовательных чисел хотя бы одно делится на 11.
Вообще, для каждого $m = 2, 3, \cdots$ можно найти наименьшее $c_m$ такое, чтобы среди любых $c_m$ последовательных натуральных чисел хотя бы у одного сумма цифр делилась на $m$ (для $m < 20$ достаточно изучить поведение функции «сумма цифр числа $n$» в пределах одной сотни; график этой функции изображен на рис.); в частности, $c_2 = 3, c_3 = 5, \cdots, c_{10} = 19, c_{11} = 39, c_{12} = 59, \cdots$.
Докажите, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдется такое, у которого сумма цифр делится на 11.
Решение:
Среди первых двадцати из данных чисел найдутся два, у которых последняя цифра десятичной записи равна нулю.
Хотя бы у одного из этих двух чисел перед нулем стоит цифра, не равная 9. Пусть $N$ - это число, $s$ - сумма его цифр.
Тогда числа $N, N + 1, \cdots, N + 9, N + 19$ содержатся среди данных 39 и имеют суммы цифр $s, s + 1, s + 2, \cdots, s + 10$. Но среди одиннадцати последовательных чисел хотя бы одно делится на 11.
Вообще, для каждого $m = 2, 3, \cdots$ можно найти наименьшее $c_m$ такое, чтобы среди любых $c_m$ последовательных натуральных чисел хотя бы у одного сумма цифр делилась на $m$ (для $m < 20$ достаточно изучить поведение функции «сумма цифр числа $n$» в пределах одной сотни; график этой функции изображен на рис.); в частности, $c_2 = 3, c_3 = 5, \cdots, c_{10} = 19, c_{11} = 39, c_{12} = 59, \cdots$.
