Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3526
2019-06-12 
С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности 1, 2, 3, 4 с радиусами $r_1, r_2, r_3, r_4$, причем $r_1 + r_3 = r_2 + r_4 < d$ - диагональ прямоугольника (рис.). Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и 2, 4. Докажите, что в четырехугольник, образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать окружность.
Решение:
Пусть $ABCD$ - данный прямоугольник и $LN$ - общая касательная окружностей 1 и 3 с центрами в точках $А$ и $С$. Из точки $О$ - центра прямоугольника - опустим перпендикуляр $ОМ$ на прямую $LN$. Четырехугольник $ALNC$ - трапеция, а $ОМ$ - ее средняя линия, так что $ОМ = (r_1+ r_3) /2$. Расстояние от точки $О$ до второй общей касательной тех же окружностей тоже равно $(r_1 + r_3)/2$.
Точно так же устанавливается, что расстояние от точки $О$ до общих касательных двух оставшихся окружностей равно ($r_2 + r_4)/2$. Поскольку по условию $r_1 + r_3 = r_2 + r_4$, точка $О$ одинаково удалена от всех четырех касательных, т. е. является центром круга, вписанного в образованный ими четырехугольник.
С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности 1, 2, 3, 4 с радиусами $r_1, r_2, r_3, r_4$, причем $r_1 + r_3 = r_2 + r_4 < d$ - диагональ прямоугольника (рис.). Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и 2, 4. Докажите, что в четырехугольник, образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать окружность.
Решение:
Пусть $ABCD$ - данный прямоугольник и $LN$ - общая касательная окружностей 1 и 3 с центрами в точках $А$ и $С$. Из точки $О$ - центра прямоугольника - опустим перпендикуляр $ОМ$ на прямую $LN$. Четырехугольник $ALNC$ - трапеция, а $ОМ$ - ее средняя линия, так что $ОМ = (r_1+ r_3) /2$. Расстояние от точки $О$ до второй общей касательной тех же окружностей тоже равно $(r_1 + r_3)/2$.
Точно так же устанавливается, что расстояние от точки $О$ до общих касательных двух оставшихся окружностей равно ($r_2 + r_4)/2$. Поскольку по условию $r_1 + r_3 = r_2 + r_4$, точка $О$ одинаково удалена от всех четырех касательных, т. е. является центром круга, вписанного в образованный ими четырехугольник.
