Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3520
2019-06-04 
Пусть $a, b$ и $c$ означают длины сторон треугольника, а $d$- длину биссектрисы угла, противоположного стороне длиной $c$ и оканчивающуюся на этой стороне.
(A) Выразить $d$ через $a, b$ и $c$.
(B) Проверьте полученное выражение самыми различными путями, которые можете придумать (с помощью частных случаев, предельных случаев и т.д.)
Решение:
(А) Наша задача значительно облегчается, если мы учили и помним классическое утверждение геометрии:
отрезки основания $p$ и $q$ имеют то же отношение, что и смежные стороны $a$ и $b$
$\frac{p}{q}=\frac{a}{b}$.
Поскольку $p+q=c$, имеем
$p=\frac{ac}{a+b},\:q=\frac{bc}{a+b}$.
Применяя теорему косинусов дважды к двум различным треугольникам, которые оба содержат угол а, противоположный стороне $а$ в исходном треугольнике, получим
$a^{2} = b^{2}+c^{2}-2bc \cos \alpha$,
$d^{2} = b^{2} + q^{2} - 2bq \cos \alpha$.
Исключая $\cos \alpha$ и решая относительно $d^{2}$ получим
$d^{2} = ab \left [ 1 - \left ( \frac {c}{a+b} \right )^{2} \right ]$.
(Если Вы не знаете или не можете вспомнить это утверждение об отношении $p/q$, можно найти решение применением тригонометрических соотношений в трех треугольниках. Это следует, в действительности, из теоремы синусов, примененной дважды к двум меньшим треугольникам).
(В) Частный случай. Если $a=b$, данный треугольник является равнобедренным с основанием $c$ и формула дает
$d^{2}=a^{2}-\frac{c^{2}}{4}$
Предельный случай. Если данный треугольник вырождается, сводится к линейному отрезку $c$, то $a+b=c$ и формула дает $d=0$.
Формула может быть также проверена на размерность.
Пусть $a, b$ и $c$ означают длины сторон треугольника, а $d$- длину биссектрисы угла, противоположного стороне длиной $c$ и оканчивающуюся на этой стороне.
(A) Выразить $d$ через $a, b$ и $c$.
(B) Проверьте полученное выражение самыми различными путями, которые можете придумать (с помощью частных случаев, предельных случаев и т.д.)
Решение:
(А) Наша задача значительно облегчается, если мы учили и помним классическое утверждение геометрии:
отрезки основания $p$ и $q$ имеют то же отношение, что и смежные стороны $a$ и $b$
$\frac{p}{q}=\frac{a}{b}$.
Поскольку $p+q=c$, имеем
$p=\frac{ac}{a+b},\:q=\frac{bc}{a+b}$.
Применяя теорему косинусов дважды к двум различным треугольникам, которые оба содержат угол а, противоположный стороне $а$ в исходном треугольнике, получим
$a^{2} = b^{2}+c^{2}-2bc \cos \alpha$,
$d^{2} = b^{2} + q^{2} - 2bq \cos \alpha$.
Исключая $\cos \alpha$ и решая относительно $d^{2}$ получим
$d^{2} = ab \left [ 1 - \left ( \frac {c}{a+b} \right )^{2} \right ]$.
(Если Вы не знаете или не можете вспомнить это утверждение об отношении $p/q$, можно найти решение применением тригонометрических соотношений в трех треугольниках. Это следует, в действительности, из теоремы синусов, примененной дважды к двум меньшим треугольникам).
(В) Частный случай. Если $a=b$, данный треугольник является равнобедренным с основанием $c$ и формула дает
$d^{2}=a^{2}-\frac{c^{2}}{4}$
Предельный случай. Если данный треугольник вырождается, сводится к линейному отрезку $c$, то $a+b=c$ и формула дает $d=0$.
Формула может быть также проверена на размерность.
