Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 352
2014-06-07 
Пусть все члены последовательностей $\{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$ - натуральные числа. Доказать, что существует пара номеров $p < q$, для которых справедливы неравенства $a_{p} \leq a_{q}$ и $b_{p} \leq b_{q}$.
Решение:
Построим возрастающую последовательность номеров $\{ l_{n} \}$
следующим образом. Пусть $a_{i_{1}}$ - наименьшее из чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots $ (оно существует, ибо все члены последовательности $\{ a_{n} \}$ - натуральные числа); $a_{i_{2}}$ - наименьшее из чисел $a_{i_{1} + 1}, a_{i_{1} + 2 }, \cdots ; a_{i_{3}}$ - наименьшее из чисел $a_{i_{2} + 1}, a_{i_{2} + 2}, \cdots$ и т. д. Тогда бесконечная последователькость $\{ a_{i_{n}} \}$ не убывает. Пусть $b_{i_{k}}$ - наименьшее из чисел $b_{i_{1}}, b_{i_{2}}, \cdots$. Тогда $i_{k} < i_{k+1}, a_{i_{k}} \leq a_{i_{k+1}}, b_{i_{k}} \leq b_{i_{k+1}}$, т.е. в качестве искомых номеров $p$ и $q$ можно взять числа $i_{k}$ и $i_{k+1}$ соответственно.
Пусть все члены последовательностей $\{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$ - натуральные числа. Доказать, что существует пара номеров $p < q$, для которых справедливы неравенства $a_{p} \leq a_{q}$ и $b_{p} \leq b_{q}$.
Решение:
Построим возрастающую последовательность номеров $\{ l_{n} \}$
следующим образом. Пусть $a_{i_{1}}$ - наименьшее из чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots $ (оно существует, ибо все члены последовательности $\{ a_{n} \}$ - натуральные числа); $a_{i_{2}}$ - наименьшее из чисел $a_{i_{1} + 1}, a_{i_{1} + 2 }, \cdots ; a_{i_{3}}$ - наименьшее из чисел $a_{i_{2} + 1}, a_{i_{2} + 2}, \cdots$ и т. д. Тогда бесконечная последователькость $\{ a_{i_{n}} \}$ не убывает. Пусть $b_{i_{k}}$ - наименьшее из чисел $b_{i_{1}}, b_{i_{2}}, \cdots$. Тогда $i_{k} < i_{k+1}, a_{i_{k}} \leq a_{i_{k+1}}, b_{i_{k}} \leq b_{i_{k+1}}$, т.е. в качестве искомых номеров $p$ и $q$ можно взять числа $i_{k}$ и $i_{k+1}$ соответственно.
