ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-06-04   
Показать, что каждое число последовательности

$49, 4489, 444889, 44448889, \cdots$

является точным квадратом.


Решение:


Первое решение. Вспомните формулу для суммы геометрической прогрессии. Сумма последовательности, имеющей цифр $2n$, равна

$9+ 8(10 + 10^{2} + \cdots + 10^{n-1}) + 4(10^{n} + 10^{n+1} + \cdots + 10^{2n-1}) = 1 + (8+4 \cdot 10^{n})(1 + 10 +...+ 10^{n-1}) = 1 + 4(10^{n} + 2)(10^{n} - 1)/( 10 - 1) = \left(\frac{2 \cdot 10^{n}+1}{3} \right )^{2}$.

Это - квадрат целого числа, поскольку

$(2 \cdot 10^{n} + 1)/3 = 1+6(10^{n} - 1)/9 = 666 \cdots 67$

число с $n$ цифрами.

Второе решение. Экспериментирование с некоторыми примерами

$49 = 7^{2}, 4489 = 67^{2}, 444889 = 667^{2}$

приводит к предположению, что $n$-ый член имеет вид $(666 \cdots 67)^{2}$ где $666 \cdots 67$ имеет $n$ цифр. Чтобы подтвердить пред положение доказательством, можно начать с замечания, что

$666 \cdots 667 \times 6 = 4000 \cdots 002$,
$666 \cdots 667 \times 7 = 4666 \cdots 669$

и увидеть обычный пример умножения целых чисел, записанных десятичными арабскими цифрами.