Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3516
2019-06-04 
Торт имеет форму прямой призмы с квадратным основанием; он имеет сахарную глазурь наверху торта и по его сторонам (то есть на четырех боковых гранях). Высота призмы равна 5/16 стороны основания. Разрежьте торт на 9 кусков так, чтобы каждый кусок имел одинаковое количество торта и глазури. Один из 9 кусков должен быть прямой призмой с квадратным основанием, с глазурью только на его верхней поверхности. Вычислите отношение его высоты к стороне его основания, и дайте четкое описание с эскизами всех 9 кусков.
Решение:
Пусть $s$ является длиной стороны основания данной призмы (торта). Тогда высота данной призмы равна $5s/16$, объем равен $5s^{3}/16$, а поверхность (5 граней) с сахарной глазурью равна $9s^{2}/4$. Для требуемой призмы (кусок торта) площадь основания равна $s^{2}/4$, а объем равен $5s^{3}/(16 \times 9)$. Высота равна $5s/36$, частному объема и площади основания. Сторона основания требуемой призмы равна $s/2$. Следовательно, требуемое отношение равно
$\frac {5s}{36} \cdot \frac {2}{s} = \frac {5}{18}$
На верхней поверхности торта (квадрат) отметим концентрический квадрат. Стороны меньшею квадрата параллельны и равны половине длины сторон большего квадрата. Линейные отрезки соединяют соответствующие вершины и средние точки соответствующих сторон.
Каждый из 8 кусков с сахарной глазурью на стороне является прямой призмой, из которой вырезана более маленькая прямая призма; для обеих призм, большей и меньшей, основание является равнобедренным прямоугольным треугольником.
Другое решение может быть получено путем вращения квадратного куска около его центра на $45^{\circ}$.
Торт имеет форму прямой призмы с квадратным основанием; он имеет сахарную глазурь наверху торта и по его сторонам (то есть на четырех боковых гранях). Высота призмы равна 5/16 стороны основания. Разрежьте торт на 9 кусков так, чтобы каждый кусок имел одинаковое количество торта и глазури. Один из 9 кусков должен быть прямой призмой с квадратным основанием, с глазурью только на его верхней поверхности. Вычислите отношение его высоты к стороне его основания, и дайте четкое описание с эскизами всех 9 кусков.
Решение:
Пусть $s$ является длиной стороны основания данной призмы (торта). Тогда высота данной призмы равна $5s/16$, объем равен $5s^{3}/16$, а поверхность (5 граней) с сахарной глазурью равна $9s^{2}/4$. Для требуемой призмы (кусок торта) площадь основания равна $s^{2}/4$, а объем равен $5s^{3}/(16 \times 9)$. Высота равна $5s/36$, частному объема и площади основания. Сторона основания требуемой призмы равна $s/2$. Следовательно, требуемое отношение равно
$\frac {5s}{36} \cdot \frac {2}{s} = \frac {5}{18}$
На верхней поверхности торта (квадрат) отметим концентрический квадрат. Стороны меньшею квадрата параллельны и равны половине длины сторон большего квадрата. Линейные отрезки соединяют соответствующие вершины и средние точки соответствующих сторон.
Каждый из 8 кусков с сахарной глазурью на стороне является прямой призмой, из которой вырезана более маленькая прямая призма; для обеих призм, большей и меньшей, основание является равнобедренным прямоугольным треугольником.
Другое решение может быть получено путем вращения квадратного куска около его центра на $45^{\circ}$.
