Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3515
2019-06-04 
Основание прямой призмы является правильным шестиугольником, а высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в основание. Объем призмы равен объему правильного октаэдра.
Найти отношение площадей поверхностей этих двух тел.
Обратите внимание, что два тела имеют одинаковое количество граней, и одно из них является правильным телом, а другое - нет. Почему так?
Решение:
Пусть $r$ является радиусом окружности, вписанной в основание призмы. Основание состоит из шести равносторонних треугольников, чьи стороны имеют длину $2r\sqrt{3}$. Объем призмы равен
$6\frac{r^{2}}{\sqrt{3}}2r = 4\sqrt{3} \cdot r^{3}$.
Площадь поверхности призмы равна
$2 \cdot 6\frac{r^{2}}{\sqrt{3}} + 6\frac{2r}{\sqrt{3}}2r = 4 \sqrt{3} \cdot r^{2} + 8 \sqrt{3} \cdot r^{2} = 12 \sqrt{3} \cdot r^{2}$.
Пусть $a$ является длиной ребра правильного октаэдра, чей объем равен $4 \sqrt{3} \cdot r^{3}$. Октаэдр может быть разделен на две конгруэнтные пирамиды, чье общее основание является квадратом со стороной длиной $a$ и чья высота равна половине диагонали квадрата со стороной длиной $a$. Поэтому, объем октаэдра равен
$2 \cdot \frac{1}{3}a^{2} \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3} = 4 \sqrt{3} \cdot r^{3}$
и
$a = \sqrt{6} \cdot r$.
Площадь поверхности октаэдра равна
$8\frac {\sqrt{3} \cdot a}{2} \frac {a}{2} = 2 \sqrt {3} \cdot a^{2} = 2 \sqrt{3} \cdot 6r^{2} = 12 \sqrt {3} \cdot r^{2}$.
Следовательно, площади двух поверхностей равны.
Рассматривая два тела с одним и тем же числом граней и одинаковым объемом, естественно было бы ожидать, что если одно из них правильное, то оно будет иметь площадь поверхности меньшую, чем другое тело.
Основание прямой призмы является правильным шестиугольником, а высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в основание. Объем призмы равен объему правильного октаэдра.
Найти отношение площадей поверхностей этих двух тел.
Обратите внимание, что два тела имеют одинаковое количество граней, и одно из них является правильным телом, а другое - нет. Почему так?
Решение:
Пусть $r$ является радиусом окружности, вписанной в основание призмы. Основание состоит из шести равносторонних треугольников, чьи стороны имеют длину $2r\sqrt{3}$. Объем призмы равен
$6\frac{r^{2}}{\sqrt{3}}2r = 4\sqrt{3} \cdot r^{3}$.
Площадь поверхности призмы равна
$2 \cdot 6\frac{r^{2}}{\sqrt{3}} + 6\frac{2r}{\sqrt{3}}2r = 4 \sqrt{3} \cdot r^{2} + 8 \sqrt{3} \cdot r^{2} = 12 \sqrt{3} \cdot r^{2}$.
Пусть $a$ является длиной ребра правильного октаэдра, чей объем равен $4 \sqrt{3} \cdot r^{3}$. Октаэдр может быть разделен на две конгруэнтные пирамиды, чье общее основание является квадратом со стороной длиной $a$ и чья высота равна половине диагонали квадрата со стороной длиной $a$. Поэтому, объем октаэдра равен
$2 \cdot \frac{1}{3}a^{2} \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3} = 4 \sqrt{3} \cdot r^{3}$
и
$a = \sqrt{6} \cdot r$.
Площадь поверхности октаэдра равна
$8\frac {\sqrt{3} \cdot a}{2} \frac {a}{2} = 2 \sqrt {3} \cdot a^{2} = 2 \sqrt{3} \cdot 6r^{2} = 12 \sqrt {3} \cdot r^{2}$.
Следовательно, площади двух поверхностей равны.
Рассматривая два тела с одним и тем же числом граней и одинаковым объемом, естественно было бы ожидать, что если одно из них правильное, то оно будет иметь площадь поверхности меньшую, чем другое тело.
