Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3514
2019-06-04 
Найдите все решения системы трех уравнений с неизвестными $x, y$ и $z$
$x^{2}+5y^{2}+6z^{2}+8(yz+zx+xy)=36$,
$6x^{2}+y^{2}+5z^{2}+8(yz+zx+xy)=36$,
$5z^{2}+6y^{2}+z^{2}+8(yz+zx+xy)=36$.
(Одно решение найти легко).
Решение:
Вычитая по очереди второе уравнение из первого, третье из второго и первое из третьего, получим новую систему
$-5x^{2}+4y^{2}+z^{2}=0$,
$x^{2}-5y^{2}+4z^{2}=0$,
$4x^{2}+y^{2}-5z^{2}=0$.
Мы можем исключить $z^{2}$, умножая первое уравнение в этой системе на -4 и складывая его со вторым. Мы можем исключить $x^{2}$, умножая второе уравнение на -4 и складывая его с третьим. Это дает
$x^{2}=y^{2}=z^{2}$.
Подстановка в первоначальную систему дает восемь решений
$(1,1,1), (-1,-1,-1)$,
$(3, -3,-3), (-3,3,3), (-3,3,-3)$,
$(3,-3,3), (-3,-3,3), (3,3,-3)$.
Найдите все решения системы трех уравнений с неизвестными $x, y$ и $z$
$x^{2}+5y^{2}+6z^{2}+8(yz+zx+xy)=36$,
$6x^{2}+y^{2}+5z^{2}+8(yz+zx+xy)=36$,
$5z^{2}+6y^{2}+z^{2}+8(yz+zx+xy)=36$.
(Одно решение найти легко).
Решение:
Вычитая по очереди второе уравнение из первого, третье из второго и первое из третьего, получим новую систему
$-5x^{2}+4y^{2}+z^{2}=0$,
$x^{2}-5y^{2}+4z^{2}=0$,
$4x^{2}+y^{2}-5z^{2}=0$.
Мы можем исключить $z^{2}$, умножая первое уравнение в этой системе на -4 и складывая его со вторым. Мы можем исключить $x^{2}$, умножая второе уравнение на -4 и складывая его с третьим. Это дает
$x^{2}=y^{2}=z^{2}$.
Подстановка в первоначальную систему дает восемь решений
$(1,1,1), (-1,-1,-1)$,
$(3, -3,-3), (-3,3,3), (-3,3,-3)$,
$(3,-3,3), (-3,-3,3), (3,3,-3)$.
