Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3513
2019-06-04 
Показать, что выражение
$n^{2}(n^{2} - 1)(n{^2} - 4)$
делится на 360 без остатка для $n = 1, 2, 3, \cdots$.
Решение:
Первое решение. Перепишем выражение в виде
$ n[(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)]$
и заметим, что выражение в квадратных скобках является произведением пяти последовательных целых чисел. Мы замечаем, что $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$. В любой последовательности пяти следующих друг за другом целых чисел одно должно быть кратно 5, следовательно, 5 делит без остатка выражение. Также одно из этих пяти целых чисел должно быть кратным 4 и поскольку, наконец, одно должно быть четным, 8 должно делить без остатка выражение. Если $n$ кратно 3, то $n^{2}$ кратно 9, и 9 делит без остатка выражение. Если $n$ не кратно 3, то или $n-2$ и $n+1$ или $n-1$ и $n+2$ делится без остатка на 3 и. следовательно, 9 делит без остатка выражение. Поскольку выражение делится без остатка на 5, 8 и 9 и поскольку они не имеют общих множителей, то выражение должно делиться без остатка на их произведение.
Второе решение.
$\frac {n(n^{2}-1)(n^{2}-4)}{360} = \frac{[(n+3)+(n-3)](n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)}{6!} = \left (\begin{matrix} n+3 \\ 6 \end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} n+3 \\ 6 \end{matrix} \right)$, а биномиальные коэффициенты являются целыми числами.
Показать, что выражение
$n^{2}(n^{2} - 1)(n{^2} - 4)$
делится на 360 без остатка для $n = 1, 2, 3, \cdots$.
Решение:
Первое решение. Перепишем выражение в виде
$ n[(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)]$
и заметим, что выражение в квадратных скобках является произведением пяти последовательных целых чисел. Мы замечаем, что $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$. В любой последовательности пяти следующих друг за другом целых чисел одно должно быть кратно 5, следовательно, 5 делит без остатка выражение. Также одно из этих пяти целых чисел должно быть кратным 4 и поскольку, наконец, одно должно быть четным, 8 должно делить без остатка выражение. Если $n$ кратно 3, то $n^{2}$ кратно 9, и 9 делит без остатка выражение. Если $n$ не кратно 3, то или $n-2$ и $n+1$ или $n-1$ и $n+2$ делится без остатка на 3 и. следовательно, 9 делит без остатка выражение. Поскольку выражение делится без остатка на 5, 8 и 9 и поскольку они не имеют общих множителей, то выражение должно делиться без остатка на их произведение.
Второе решение.
$\frac {n(n^{2}-1)(n^{2}-4)}{360} = \frac{[(n+3)+(n-3)](n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)}{6!} = \left (\begin{matrix} n+3 \\ 6 \end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} n+3 \\ 6 \end{matrix} \right)$, а биномиальные коэффициенты являются целыми числами.
