Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3511
2019-06-04 
Пять ребер тетраэдра имеют одинаковую длину $a$, а шестое ребро имеет длину $b$.
(A) Выразите радиус сферы, описанной около тетраэдра, через $a$ и $b$.
(B) Как вы могли бы использовать результат (А) для практического определения радиуса сферической поверхности (например линзы)?
Решение:
(А) Проведем плоскость через ребро длиной $b$ и среднюю точку $M$ противоположного ребра. Пересечением этой плоскости с тетраэдром является равнобедренный треугольник, который может быть использован как ключевой чертеж: его основание имеет длину $b$, его стороны имеют длину $a\sqrt{3}/2$ (они являются высотами равносторонних граней тетраэдра) и, следовательно, его высота равна $\sqrt{3a^{2}-b^{2}}/2$. Из-за симметрии, центр $O$ описанной сферы лежит на линии, соединяющей $M$ со средней точкой $B$ основания этого треугольника. Также линия, соединяющая $O$ с центром $C$ одной из равносторонних граней тетраэдра, перпендикулярна этой грани. Точка $C$ разделяет каждую высоту (или медиану) равносторонней грани в отношений 1:2. Следовательно, $CM$ имеет длину $a\sqrt{3}/6$. Треугольник $OCM$ подобен каждому треугольнику, на которые ключевой чертеж разделен посредством $MB$. Следовательно, отношения соответствующих сторон равны. Если $x$ является длиной $OB$, получаем
$\frac {\frac {\sqrt{3a^{2}-b^{2}}}{2}-x} {\frac {a\sqrt{3}}{6}} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac {\sqrt{3a^2-b^{2}}}{2}}$.
Решая это уравнение относительно $x$, получаем
$x = \frac {2a^{2}-b^{2}}{2 \sqrt {3a^{2}-b^{2}}}$.
Если $r$ - радиус описанной сферы
$r^{2}=x^{2}+ \left ( \frac{b}{2} \right )^{2} = \frac{(2a^{2}-b^{2})^{2}}{4(3a^{2}-b^{2})} + \frac{b^{2}}{4} = \frac{a^{2}(4a^{2}-b^{2})}{4(3a^{2}-b^{2})}$
и
$r = \frac{a}{2}\sqrt {\frac{4a^{2}-b^{2}}{3a^{2}-b^{2}}}$.
Заметим, что знаменатель равен нулю, когда $b = a\sqrt{3}$. Это предельный случай, поскольку для тетраэдра, рассмотренного в задаче, $b < a\sqrt{3}$.
(В) Радиус сферической поверхности может быть определен посредством способа, в котором четыре точки расположены так, чтобы образовать вершины двух конгруэнтных равносторонних треугольников, имеющих общую сторону и повернутых вокруг этой стороны. Пусть стороны треугольника имеют длину $a$. Располагая четыре точки в соприкосновении с поверхностью и измеряя расстояние $b$ между двумя точками. которые не являются концевыми точками общей стороны, можно использовать результат $(A)$, чтобы вычислить радиус сферы, определяемый четырьмя точками.
Пять ребер тетраэдра имеют одинаковую длину $a$, а шестое ребро имеет длину $b$.
(A) Выразите радиус сферы, описанной около тетраэдра, через $a$ и $b$.
(B) Как вы могли бы использовать результат (А) для практического определения радиуса сферической поверхности (например линзы)?
Решение:
(А) Проведем плоскость через ребро длиной $b$ и среднюю точку $M$ противоположного ребра. Пересечением этой плоскости с тетраэдром является равнобедренный треугольник, который может быть использован как ключевой чертеж: его основание имеет длину $b$, его стороны имеют длину $a\sqrt{3}/2$ (они являются высотами равносторонних граней тетраэдра) и, следовательно, его высота равна $\sqrt{3a^{2}-b^{2}}/2$. Из-за симметрии, центр $O$ описанной сферы лежит на линии, соединяющей $M$ со средней точкой $B$ основания этого треугольника. Также линия, соединяющая $O$ с центром $C$ одной из равносторонних граней тетраэдра, перпендикулярна этой грани. Точка $C$ разделяет каждую высоту (или медиану) равносторонней грани в отношений 1:2. Следовательно, $CM$ имеет длину $a\sqrt{3}/6$. Треугольник $OCM$ подобен каждому треугольнику, на которые ключевой чертеж разделен посредством $MB$. Следовательно, отношения соответствующих сторон равны. Если $x$ является длиной $OB$, получаем
$\frac {\frac {\sqrt{3a^{2}-b^{2}}}{2}-x} {\frac {a\sqrt{3}}{6}} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac {\sqrt{3a^2-b^{2}}}{2}}$.
Решая это уравнение относительно $x$, получаем
$x = \frac {2a^{2}-b^{2}}{2 \sqrt {3a^{2}-b^{2}}}$.
Если $r$ - радиус описанной сферы
$r^{2}=x^{2}+ \left ( \frac{b}{2} \right )^{2} = \frac{(2a^{2}-b^{2})^{2}}{4(3a^{2}-b^{2})} + \frac{b^{2}}{4} = \frac{a^{2}(4a^{2}-b^{2})}{4(3a^{2}-b^{2})}$
и
$r = \frac{a}{2}\sqrt {\frac{4a^{2}-b^{2}}{3a^{2}-b^{2}}}$.
Заметим, что знаменатель равен нулю, когда $b = a\sqrt{3}$. Это предельный случай, поскольку для тетраэдра, рассмотренного в задаче, $b < a\sqrt{3}$.
(В) Радиус сферической поверхности может быть определен посредством способа, в котором четыре точки расположены так, чтобы образовать вершины двух конгруэнтных равносторонних треугольников, имеющих общую сторону и повернутых вокруг этой стороны. Пусть стороны треугольника имеют длину $a$. Располагая четыре точки в соприкосновении с поверхностью и измеряя расстояние $b$ между двумя точками. которые не являются концевыми точками общей стороны, можно использовать результат $(A)$, чтобы вычислить радиус сферы, определяемый четырьмя точками.
