Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3510
2019-06-04 
На каждой стороне прямоугольного треугольника построен наружный квадрат (как это обычно делается для иллюстрации теоремы Пифагора). Соедините вершину прямого угла треугольника с центром квадрата, построенного на гипотенузе, и соедините центры квадратов, построенных на двух других сторонах. Показать, что два отрезка прямых, полученных таким образом являются
(A) перпендикулярными друг другу;
(B) равной длины.
Решение:
(A) Поскольку $\angle B^{\prime}CA = \angle A^{\prime}CB = 45^{\circ}$ и $\angle C = 90^{\circ}$, то $C$ лежит на линейном отрезке $A^{\prime}B^{\prime}$. $\triangle ABC$ и $\triangle ABC^{\prime}$ являются прямоугольными треугольниками; они могут быть вписаны в окружность с диаметром $AB$. $\angle ACC^{\prime}$ и $\angle BCC^{\prime}$ отделяют равные дуги окружности так, что они равны. Следовательно, $\angle B^{\prime}CC^{\prime} = \angle A^{\prime}CC^{\prime} = 90^{\circ}$.
(B) Если стороны треугольника имеют длины $a,\:b$ и $c$, то $B^{\prime}C$ имеет длину $b\sqrt{2}, A^{\prime}C$ - длину $a \sqrt{2}$, и $A^{\prime}B^{\prime}$, следовательно, длину $(a+b)/\sqrt{2}$.
Пусть $D$ является вершиной, противоположной $A$, в квадрате на стороне $b$. Тогда $\triangle ACC^{\prime} \sim \triangle ADB$ (пары соответствующих углов равны). Следовательно. $CC^{\prime} \div AC = DB \div AD$ и длина $CC^{\prime}$ также равна $(a+b)/\sqrt{2}$.
На каждой стороне прямоугольного треугольника построен наружный квадрат (как это обычно делается для иллюстрации теоремы Пифагора). Соедините вершину прямого угла треугольника с центром квадрата, построенного на гипотенузе, и соедините центры квадратов, построенных на двух других сторонах. Показать, что два отрезка прямых, полученных таким образом являются
(A) перпендикулярными друг другу;
(B) равной длины.
Решение:
(A) Поскольку $\angle B^{\prime}CA = \angle A^{\prime}CB = 45^{\circ}$ и $\angle C = 90^{\circ}$, то $C$ лежит на линейном отрезке $A^{\prime}B^{\prime}$. $\triangle ABC$ и $\triangle ABC^{\prime}$ являются прямоугольными треугольниками; они могут быть вписаны в окружность с диаметром $AB$. $\angle ACC^{\prime}$ и $\angle BCC^{\prime}$ отделяют равные дуги окружности так, что они равны. Следовательно, $\angle B^{\prime}CC^{\prime} = \angle A^{\prime}CC^{\prime} = 90^{\circ}$.
(B) Если стороны треугольника имеют длины $a,\:b$ и $c$, то $B^{\prime}C$ имеет длину $b\sqrt{2}, A^{\prime}C$ - длину $a \sqrt{2}$, и $A^{\prime}B^{\prime}$, следовательно, длину $(a+b)/\sqrt{2}$.
Пусть $D$ является вершиной, противоположной $A$, в квадрате на стороне $b$. Тогда $\triangle ACC^{\prime} \sim \triangle ADB$ (пары соответствующих углов равны). Следовательно. $CC^{\prime} \div AC = DB \div AD$ и длина $CC^{\prime}$ также равна $(a+b)/\sqrt{2}$.
