Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 351
2014-06-07 
Даны числа А > 1 и В > 1 и последовательность $\{ a_{n} \} (n \in \mathbf{N})$ чисел из отрезка $[1; AB]$. Доказать, что существует такая последовательность $\{ b_{n} \}$ чисел из отрезка $[1; A]$, что для любых $m, n \in \mathbf{N}$ выполнена оценка $a_{m}/a_{n} \leq Bb_{m}/b_{n}$.
Решение:
Построим последовательность $\{ b_{n} \}$ следующим образом:
$b_{n} = \begin{cases} a_{n},& \text{если}\: a_{n} \leq A,\\
A,& \text{если}\: a_{n} > A,
\end{cases}$
и обозначим $a_{n}/b_{n}$, через $c_{n}$. Тогда справедливы оценки $1 \leq c_{n} < B$ для всех $n \in \mathbf{N}$. Поэтому для любых $m, n \in \mathbf{N}$ имеем $c_{m}/c_{n} \leq B$, т. е. $a_{m}/a_{n} \leq Bb_{m}/b_{n}$.
Даны числа А > 1 и В > 1 и последовательность $\{ a_{n} \} (n \in \mathbf{N})$ чисел из отрезка $[1; AB]$. Доказать, что существует такая последовательность $\{ b_{n} \}$ чисел из отрезка $[1; A]$, что для любых $m, n \in \mathbf{N}$ выполнена оценка $a_{m}/a_{n} \leq Bb_{m}/b_{n}$.
Решение:
Построим последовательность $\{ b_{n} \}$ следующим образом:
$b_{n} = \begin{cases} a_{n},& \text{если}\: a_{n} \leq A,\\
A,& \text{если}\: a_{n} > A,
\end{cases}$
и обозначим $a_{n}/b_{n}$, через $c_{n}$. Тогда справедливы оценки $1 \leq c_{n} < B$ для всех $n \in \mathbf{N}$. Поэтому для любых $m, n \in \mathbf{N}$ имеем $c_{m}/c_{n} \leq B$, т. е. $a_{m}/a_{n} \leq Bb_{m}/b_{n}$.
