ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-06-04   
Каждое из четырех чисел $a, b, c$ и $d$ является положительным и меньше единицы. Показать, что не все четыре произведения

$4a(1-b), 4b(1-c), 4c(1-d), 4d(1-a)$

больше единицы.


Решение:


Произведение четырех данных произведений симметрично по $a,\:b,\:c$ и $d$. Если мы сможем показать, что

$4a(1-b)4b(1-c)4c(1-d)4d(1-a) \leq 1$,

то из этого будет следовать, что не все из четырех данных произведений больше, чем один. Нам дано, что $0 < a < 1, 0 < b < 1, 0 < c< 1$ и $0 < d <1$. Рассмотрим произведение $4a(1-a)$, которое положительно, т.к. его сомножители положительны; каков его максимум? Очевидно, что максимум равен 1, который достигается при $a = 1/2$. Для того, чтобы проверить это заметим, что

$1-4a(1-a) = (1-2a)^{2} \geq 1$,

и что равенство достигается только, когда $a = 1/2$. Подобно этому произведения $4b(1-b), 4c(1-c)$ и $4d(1-d)$ также положительны и не более единицы. Следовательно,

$4a(1-a)4b(1-b)4c( 1 - c)4d(1-d)\leq 1$.

Перегруппировывая члены,

$4a(1-b)4b(1-c)4c( 1 - d)4d(1-a)\leq 1$.