Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3507
2019-06-04 
Пирамида называется "правильной", если ее основание является правильным многоугольником, а основание ее высоты находится в центре основания пирамиды. Правильная пирамида имеет шестиугольное основание, площадь которого является одной четвертой от общей площади поверхности $S$ пирамиды. Высота пирамиды равна $h$. Выразите $S$ через $h$.
Решение:
Проведем плоскость через высоту пирамиды и через среднюю точку одной стороны (длиной $a$) ее основания. Пересечением этой плоскости с пирамидой является равнобедренный треугольник, который может быть использован в качестве ключевого чертежа: его высота равна $h$, его стороны имеют длину $l$ (где $l$ - высота боковой грани пирамиды) и его основание равно 26 (где $b$ - высота одного из шести конгруэнтных равносторонних треугольников, составляющих основание пирамиды). Площадь основания равна
$\frac{S}{4} = \frac{6ab}{2}$,
плошадь боковой поверхности равна
$\frac{3S}{4}=\frac{6al}{2}$
и поэтому
$l=3b$.
Используя ключевой чертеж, получаем
$h^{2}+b^{2}=l^{2}=9b^{2}$
и поэтому
$b^{2} = \frac{h^{2}}{8}$.
Имеем также
$b^{2}+ \frac {a^{2}}{4} = a^{2}$
и поэтому
$ a^{2} = \frac{4b^{2}}{3} = \frac {h^{2}}{6}$.
Следовательно,
$S = 12ab = h^{2} \sqrt{3}$.
Пирамида называется "правильной", если ее основание является правильным многоугольником, а основание ее высоты находится в центре основания пирамиды. Правильная пирамида имеет шестиугольное основание, площадь которого является одной четвертой от общей площади поверхности $S$ пирамиды. Высота пирамиды равна $h$. Выразите $S$ через $h$.
Решение:
Проведем плоскость через высоту пирамиды и через среднюю точку одной стороны (длиной $a$) ее основания. Пересечением этой плоскости с пирамидой является равнобедренный треугольник, который может быть использован в качестве ключевого чертежа: его высота равна $h$, его стороны имеют длину $l$ (где $l$ - высота боковой грани пирамиды) и его основание равно 26 (где $b$ - высота одного из шести конгруэнтных равносторонних треугольников, составляющих основание пирамиды). Площадь основания равна
$\frac{S}{4} = \frac{6ab}{2}$,
плошадь боковой поверхности равна
$\frac{3S}{4}=\frac{6al}{2}$
и поэтому
$l=3b$.
Используя ключевой чертеж, получаем
$h^{2}+b^{2}=l^{2}=9b^{2}$
и поэтому
$b^{2} = \frac{h^{2}}{8}$.
Имеем также
$b^{2}+ \frac {a^{2}}{4} = a^{2}$
и поэтому
$ a^{2} = \frac{4b^{2}}{3} = \frac {h^{2}}{6}$.
Следовательно,
$S = 12ab = h^{2} \sqrt{3}$.
