Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3506
2019-06-04 
Решите следующую систему трех уравнений с неизвестными $x, у$ и $z$ ($а, b$ и $c$ заданы)
$x^{2}y^{2}+ x^{2}z^{2} = axyz$,
$y^{2}z^{2}+y^{2}x^{2} = bxyz$,
$z^{2}x^{2}+z^{2}y^{2} = cxyz$.
Решение:
Если $x=0$, второе (или третье) уравнение дает $y^{2}z^{2}=0$ и поэтому еще одно из неизвестных $y$ или $x$ должно быть равно нулю. Следовательно, либо $x, y$ и $z$ все отличны от 0 или, наконец, два исчезают. Если любые два исчезают, уравнения удовлетворяются.
Теперь рассмотрим случай, в котором ни одно из трех неизвестных не равно 0. Делением получаем систему
$\frac {zx}{y}+ \frac {xy}{z} = a$,
$\frac{yz}{x} + \frac {xy}{z} = b$,
$\frac {yz}{x} + \frac {zx}{y} = c$.
Складывая эти три уравнения и деля на 2, получаем
$\frac{yz}{x}+ \frac{zx}{y}+ \frac{xy}{z} = \frac{a+b+c}{z}$.
Из этого уравнения вычитаем каждое из трех уравнений предшествующей системы и получаем
$\frac{yz}{x}=\frac{-a+b+c}{2}$,
$\frac{zx}{y}=\frac{a-b+c}{2}$,
$\frac{xy}{z}=\frac{a+b-c}{2}$.
Произведение этих трех уравнений равно
$xyz= \frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{8}$. (*)
Разделим его на каждое уравнение из предшествующей системы и после извлечения квадратного корня получим
$x = \frac{ \sqrt{(a-b+c)(a+b-c)}}{2}$,
$y = \frac{ \sqrt{(-a+b+c)(a+b-c)}}{2}$,
$z = \frac{ \sqrt{(-a+b+c)(a-b+c)}}{2}$
Мы должны принять во внимание, однако, два значения квадратного корня.
Сосредоточимся на вызывающем на размышление частном случае и положим, что $a, b$ и $c$ являются длинами трех сторон треугольника. Тогда из (*), $xyz$ положительно и, следовательно, только следующие четыре комбинации знаков допустимы:
Решите следующую систему трех уравнений с неизвестными $x, у$ и $z$ ($а, b$ и $c$ заданы)
$x^{2}y^{2}+ x^{2}z^{2} = axyz$,
$y^{2}z^{2}+y^{2}x^{2} = bxyz$,
$z^{2}x^{2}+z^{2}y^{2} = cxyz$.
Решение:
Если $x=0$, второе (или третье) уравнение дает $y^{2}z^{2}=0$ и поэтому еще одно из неизвестных $y$ или $x$ должно быть равно нулю. Следовательно, либо $x, y$ и $z$ все отличны от 0 или, наконец, два исчезают. Если любые два исчезают, уравнения удовлетворяются.
Теперь рассмотрим случай, в котором ни одно из трех неизвестных не равно 0. Делением получаем систему
$\frac {zx}{y}+ \frac {xy}{z} = a$,
$\frac{yz}{x} + \frac {xy}{z} = b$,
$\frac {yz}{x} + \frac {zx}{y} = c$.
Складывая эти три уравнения и деля на 2, получаем
$\frac{yz}{x}+ \frac{zx}{y}+ \frac{xy}{z} = \frac{a+b+c}{z}$.
Из этого уравнения вычитаем каждое из трех уравнений предшествующей системы и получаем
$\frac{yz}{x}=\frac{-a+b+c}{2}$,
$\frac{zx}{y}=\frac{a-b+c}{2}$,
$\frac{xy}{z}=\frac{a+b-c}{2}$.
Произведение этих трех уравнений равно
$xyz= \frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{8}$. (*)
Разделим его на каждое уравнение из предшествующей системы и после извлечения квадратного корня получим
$x = \frac{ \sqrt{(a-b+c)(a+b-c)}}{2}$,
$y = \frac{ \sqrt{(-a+b+c)(a+b-c)}}{2}$,
$z = \frac{ \sqrt{(-a+b+c)(a-b+c)}}{2}$
Мы должны принять во внимание, однако, два значения квадратного корня.
Сосредоточимся на вызывающем на размышление частном случае и положим, что $a, b$ и $c$ являются длинами трех сторон треугольника. Тогда из (*), $xyz$ положительно и, следовательно, только следующие четыре комбинации знаков допустимы:
