Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3503
2019-06-04 
Из двенадцати конгруэнтных равносторонних треугольников восемь являются гранями правильного октаэдра, а четыре - гранями правильного тетраэдра. Найти отношение объема октаэдра к объему тетраэдра.
Решение:
Пусть $O$ означает объем октаэдра, $T$ - объем тетраэдра, а $a$ - длину ребра.
Первое решение. Октаэдр разделен соответствующей плоскостью на две конгруэнтные правильные пирамиды, чье общее квадратное основание имеет площадь $a^{2}$. Высота одной из этих пирамид равна $a \sqrt{2}$ (на хорошем чертеже она проходит через диагональ основания) и поэтому
$O = 2 \frac {a^{2}}{3} \frac {a}{\sqrt {2}} = \frac {a^{3} \sqrt {2}}{3}$.
Проведем плоскость через высоту (длиной $h$) тетраэдра и через боковое ребро. Сечение разделяется высотой на два прямоугольных треугольника, из которых получаем
$h^{2} = a^{2}- \left ( \frac {2a\sqrt{3}}{6} \right )^{2} = \left ( \frac {a \sqrt{3}}{2} \right )^{2}- \left ( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right )^{2} = \frac {2a^{2}}{3}$
и поэтому
$T = \frac{1}{3} \frac {a}{2} \frac {a\sqrt{3}}{2} \frac {a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$.
Окончательно
$O = 4T$.
Второе решение. Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром $2a$; его объем равен $2^{3}T$. Четыре плоскости, каждая из которых проходит через средние точки трех его ребер, оканчивающихся в той же вершине, рассекают его на четыре правильных тетраэдра, каждый объемом $T$, и правильный тетраэдр объемом $O$. Следовательно,
$4T+O=8T$
и опять приходим к $O=4T$.
Из двенадцати конгруэнтных равносторонних треугольников восемь являются гранями правильного октаэдра, а четыре - гранями правильного тетраэдра. Найти отношение объема октаэдра к объему тетраэдра.
Решение:
Пусть $O$ означает объем октаэдра, $T$ - объем тетраэдра, а $a$ - длину ребра.
Первое решение. Октаэдр разделен соответствующей плоскостью на две конгруэнтные правильные пирамиды, чье общее квадратное основание имеет площадь $a^{2}$. Высота одной из этих пирамид равна $a \sqrt{2}$ (на хорошем чертеже она проходит через диагональ основания) и поэтому
$O = 2 \frac {a^{2}}{3} \frac {a}{\sqrt {2}} = \frac {a^{3} \sqrt {2}}{3}$.
Проведем плоскость через высоту (длиной $h$) тетраэдра и через боковое ребро. Сечение разделяется высотой на два прямоугольных треугольника, из которых получаем
$h^{2} = a^{2}- \left ( \frac {2a\sqrt{3}}{6} \right )^{2} = \left ( \frac {a \sqrt{3}}{2} \right )^{2}- \left ( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right )^{2} = \frac {2a^{2}}{3}$
и поэтому
$T = \frac{1}{3} \frac {a}{2} \frac {a\sqrt{3}}{2} \frac {a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$.
Окончательно
$O = 4T$.
Второе решение. Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром $2a$; его объем равен $2^{3}T$. Четыре плоскости, каждая из которых проходит через средние точки трех его ребер, оканчивающихся в той же вершине, рассекают его на четыре правильных тетраэдра, каждый объемом $T$, и правильный тетраэдр объемом $O$. Следовательно,
$4T+O=8T$
и опять приходим к $O=4T$.
