Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3502
2019-06-04 
Докажите тождество
$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{8}= \frac {\sin \alpha}{8\sin \frac{\alpha}{8}}$
и обобщите его.
Решение:
Напишем известное соотношение
$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
и подставим в него последовательно $\alpha/2, \alpha/4$ и $\alpha/8$ вместо $\alpha$. Получим
$\cos \frac {\alpha}{2} = \frac {\sin \alpha}{2 \sin \frac {\alpha}{2}}$,
$\cos \frac {\alpha}{4} = \frac {\sin \frac {\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{4}}$,
$\cos \frac {\alpha}{8} = \frac {\sin \frac {\alpha}{4}}{2 \sin \frac {\alpha}{8}}$.
Умножение трех равенств дает после очевидных сокращений требуемое тождество. Если мы последовательно продолжим эти равенства до $n$, то их произведение дает
$\cos \frac {\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{4} \cos \frac {\alpha}{8} \cdots \cos \frac {\alpha}{2^{n}} = \frac {\sin \alpha}{2^{n} \sin \frac {\alpha}{2^{n}}}$.
Можно также предположить эту более общую формулу и доказать ее методом математической индукции.
Докажите тождество
$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{8}= \frac {\sin \alpha}{8\sin \frac{\alpha}{8}}$
и обобщите его.
Решение:
Напишем известное соотношение
$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
и подставим в него последовательно $\alpha/2, \alpha/4$ и $\alpha/8$ вместо $\alpha$. Получим
$\cos \frac {\alpha}{2} = \frac {\sin \alpha}{2 \sin \frac {\alpha}{2}}$,
$\cos \frac {\alpha}{4} = \frac {\sin \frac {\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{4}}$,
$\cos \frac {\alpha}{8} = \frac {\sin \frac {\alpha}{4}}{2 \sin \frac {\alpha}{8}}$.
Умножение трех равенств дает после очевидных сокращений требуемое тождество. Если мы последовательно продолжим эти равенства до $n$, то их произведение дает
$\cos \frac {\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{4} \cos \frac {\alpha}{8} \cdots \cos \frac {\alpha}{2^{n}} = \frac {\sin \alpha}{2^{n} \sin \frac {\alpha}{2^{n}}}$.
Можно также предположить эту более общую формулу и доказать ее методом математической индукции.
