Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 350
2014-06-07 
Последовательность натуральных чисел $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdots$ удовлетворяет условиям $a_{1} = 1$ и $a_{n+1} \leq 2n$ при $n \in \mathbf{N}$. Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ существуют члены $a_{p}$ и $a_{q}$ этой последовательности, для которых справедливо равенство $a_{p} – a_{q} = n$.
Решение:
Пусть задано число $n \in \mathbf{N}$, тогда из условия следует, что каждое из чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}$ не превосходит $2n$. Множество чисел $1, 2, \cdots , 2n$ разобьем на $n$ пар: $(1; n+1), (2; n +2), \cdots, (n; 2n)$. Поскольку среди чисел $1, 2, \cdots, 2n$ содержится не менее $(n+1)$ членов последовательности, то найдутся два разных числа $a_{p}$ и $a_{q}$, принадлежащие одной паре. Дли завершения доказательства остается заметить, что разность между числами в каждой из пар
равна $n$.
Последовательность натуральных чисел $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdots$ удовлетворяет условиям $a_{1} = 1$ и $a_{n+1} \leq 2n$ при $n \in \mathbf{N}$. Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ существуют члены $a_{p}$ и $a_{q}$ этой последовательности, для которых справедливо равенство $a_{p} – a_{q} = n$.
Решение:
Пусть задано число $n \in \mathbf{N}$, тогда из условия следует, что каждое из чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}$ не превосходит $2n$. Множество чисел $1, 2, \cdots , 2n$ разобьем на $n$ пар: $(1; n+1), (2; n +2), \cdots, (n; 2n)$. Поскольку среди чисел $1, 2, \cdots, 2n$ содержится не менее $(n+1)$ членов последовательности, то найдутся два разных числа $a_{p}$ и $a_{q}$, принадлежащие одной паре. Дли завершения доказательства остается заметить, что разность между числами в каждой из пар
равна $n$.
