Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3499
2019-06-04 
Постройте (внешний) квадрат на каждой стороне (произвольного) треугольника. Те 6 вершин этих трех квадратов, которые не совпадают с вершинами треугольника, образуют шестиугольник. Три стороны этого шестиугольника равны, конечно, соответствующим сторонам треугольника. Показать, что каждая из оставшихся трех сторон равна удвоенной медиане треугольника.
Решение:
Пусть $A, B$ и $C$ являются вершинами данного треугольника и пусть $a, b$ и $c$ являются длинами противолежащих сторон соответственно. Рассмотрим сторону шестиугольника противоположную стороне длиной $a$ и обозначим ее длину как $a^{\prime}$. Рисуя различные фигуры и рассматривая крайние случаи, мы видим, что нам необходимо показать, что $a^{\prime} = 2a_{m}$, где $a_{m}$ - длина медианы $\triangle ABC$, проведенной к стороне длиной $a$. Продолжим $AC$ к $D$ так, что $AD = b$ и соединим $D$ с $B$. Тогда $\triangle CDB \sim \triangle CAA^{\prime}$, где $A^{\prime}$ - средняя точка стороны $BC$, так что $АA^{\prime} = a_{m}$. Следовательно, медиана $\triangle ABC$ длины $a_{m}$ параллельна $BD$ и $a_{m} = BD/2$. Но треугольник, чьи стороны имеют длины $a^{\prime},\:b$ и $c$ конгруэнтен $\triangle ABD$ (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, $а_{m}=a^{\prime}/2$.
Постройте (внешний) квадрат на каждой стороне (произвольного) треугольника. Те 6 вершин этих трех квадратов, которые не совпадают с вершинами треугольника, образуют шестиугольник. Три стороны этого шестиугольника равны, конечно, соответствующим сторонам треугольника. Показать, что каждая из оставшихся трех сторон равна удвоенной медиане треугольника.
Решение:
Пусть $A, B$ и $C$ являются вершинами данного треугольника и пусть $a, b$ и $c$ являются длинами противолежащих сторон соответственно. Рассмотрим сторону шестиугольника противоположную стороне длиной $a$ и обозначим ее длину как $a^{\prime}$. Рисуя различные фигуры и рассматривая крайние случаи, мы видим, что нам необходимо показать, что $a^{\prime} = 2a_{m}$, где $a_{m}$ - длина медианы $\triangle ABC$, проведенной к стороне длиной $a$. Продолжим $AC$ к $D$ так, что $AD = b$ и соединим $D$ с $B$. Тогда $\triangle CDB \sim \triangle CAA^{\prime}$, где $A^{\prime}$ - средняя точка стороны $BC$, так что $АA^{\prime} = a_{m}$. Следовательно, медиана $\triangle ABC$ длины $a_{m}$ параллельна $BD$ и $a_{m} = BD/2$. Но треугольник, чьи стороны имеют длины $a^{\prime},\:b$ и $c$ конгруэнтен $\triangle ABD$ (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, $а_{m}=a^{\prime}/2$.
