Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3498
2019-06-04 
Доказать: если $n$ является целым числом, большим 1, то $n^{n-1}-1$ делится на $(n - 1)^{2}$ без остатка.
Решение:
Отметим прежде, что если $n$ больше 1, частное от $n^{n-1}-1$ и $n-1$ равно
$n^{n-2}+n^{n-3}+ \cdots +n+1$,
Можно понять эту сумму, как получающуюся из полинома
$R(x) = (1+x)^{n-2}+(1+x)^{n-3}+ \cdots +(1+x)+1$,
если подставить в него $n-1$ вместо $x$. В раскрытии $R(x)$ по степеням $x$ (можно использовать формулу бинома) член, независимый от $x$, равен $R(0) = n-1$ и поэтому
$R(x)=Q_{n-3}(x)x+n-1$,
где $Q_{n-3}(x)$ - полином степени $n-3$, чьи коэффициенты являются целыми. Подставляем $n-1$ вместо $x$ и приходим к заключению:
$n^{n-1}-1=(n-1)R(n-1) = (n-1)[Q_{n-3}(n-1)(n-1) + n-1]= (n-1)^{2}[Q_{n-3}(n-1)+1]$.
Доказать: если $n$ является целым числом, большим 1, то $n^{n-1}-1$ делится на $(n - 1)^{2}$ без остатка.
Решение:
Отметим прежде, что если $n$ больше 1, частное от $n^{n-1}-1$ и $n-1$ равно
$n^{n-2}+n^{n-3}+ \cdots +n+1$,
Можно понять эту сумму, как получающуюся из полинома
$R(x) = (1+x)^{n-2}+(1+x)^{n-3}+ \cdots +(1+x)+1$,
если подставить в него $n-1$ вместо $x$. В раскрытии $R(x)$ по степеням $x$ (можно использовать формулу бинома) член, независимый от $x$, равен $R(0) = n-1$ и поэтому
$R(x)=Q_{n-3}(x)x+n-1$,
где $Q_{n-3}(x)$ - полином степени $n-3$, чьи коэффициенты являются целыми. Подставляем $n-1$ вместо $x$ и приходим к заключению:
$n^{n-1}-1=(n-1)R(n-1) = (n-1)[Q_{n-3}(n-1)(n-1) + n-1]= (n-1)^{2}[Q_{n-3}(n-1)+1]$.
