Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3495
2019-06-04 
Обратите внимание, что значение
$1!1 + 2!2 + 3!3 + \cdots + n!n$
равно 1, 5, 23, 119 для $n = 1, 2, 3, 4$ соответственно. Установите общий закон (путем задания дальнейших значений если необходимо) и докажите ваше утверждение.
Решение:
Обследованные случаи наводят на мысль, что
$1!1+2!2+3!3+ \cdots +n!n = (n+1)!-1$.
Это может быть доказано математической индукцией или следующим способом:
$(n+1)!-n! = n!(n+1)-n! = n!n$.
Поэтому для $n = 1,2,3, \cdots ,n$
$1!1 = 2!-1!$,
$2!2=3! - 2!$,
$3!3=4! - 3!$,
$\cdots$
$n!n = (n+1)!-n!$.
Сложение этих соотношений приводит после очевидных сокращений к требуемому результату.
Обратите внимание, что значение
$1!1 + 2!2 + 3!3 + \cdots + n!n$
равно 1, 5, 23, 119 для $n = 1, 2, 3, 4$ соответственно. Установите общий закон (путем задания дальнейших значений если необходимо) и докажите ваше утверждение.
Решение:
Обследованные случаи наводят на мысль, что
$1!1+2!2+3!3+ \cdots +n!n = (n+1)!-1$.
Это может быть доказано математической индукцией или следующим способом:
$(n+1)!-n! = n!(n+1)-n! = n!n$.
Поэтому для $n = 1,2,3, \cdots ,n$
$1!1 = 2!-1!$,
$2!2=3! - 2!$,
$3!3=4! - 3!$,
$\cdots$
$n!n = (n+1)!-n!$.
Сложение этих соотношений приводит после очевидных сокращений к требуемому результату.
