Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3494
2019-06-04 
"В любом треугольнике сумма трех... больше, чем полу пери метр".
Восстановите пропущенное (отмеченное точками) последовательно выбирая:
I высоты;
II медианы;
III биссектрисы (углов).
Вы получаете три различных утверждения. Проверьте каждое утверждение: истинно оно или ложно? Докажите ваш ответ!
Решение:
Утверждение $I$ ошибочно; утверждения $II$ и $III$ - верны.
Когда три высоты, медианы или биссектрисы все лежат полностью внутри треугольника (как это и есть, кроме случая высот в тупом или прямоугольном треугольнике), мы имеем следующую ситуацию: $A, B, C$ являются вершинами треугольника, $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ внутренние точки на противоположных сторонах соответственно; и мы должны рассмотреть сумму $ AA^{\prime} + BB^{\prime} + CC^{\prime}$. Поскольку сумма двух любых сторон треугольника больше, чем третья сторона
$AA^{\prime} + A^{\prime}B > AB$,
$AA^{\prime} + A^{\prime}C > AC$
Складывая, получаем
$2AA^{\prime}+BC>AB+CA$
и по аналогии
$2BB^{\prime}+CA>BC+AB$,
$2CC^{\prime}+AB>CA+BC$.
Складывая последние три неравенства, получим
$2(AA^{\prime} + BB^{\prime}+CC^{\prime}) > AB+BC+CA$.
Следовательно, утверждения $II$ и $III$ верны, а утверждение $I$ верно для острых треугольников.
В качестве контрпримера к утверждению $I$ рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием $b$ и углами при основании $A$. Когда $A$ стремится к 0. каждая высота стремится к нулю, в то время как периметр стремтся к $2b$. Угол $A$, достаточно близкий к 0, опровергает утверждение $I$.
"В любом треугольнике сумма трех... больше, чем полу пери метр".
Восстановите пропущенное (отмеченное точками) последовательно выбирая:
I высоты;
II медианы;
III биссектрисы (углов).
Вы получаете три различных утверждения. Проверьте каждое утверждение: истинно оно или ложно? Докажите ваш ответ!
Решение:
Утверждение $I$ ошибочно; утверждения $II$ и $III$ - верны.
Когда три высоты, медианы или биссектрисы все лежат полностью внутри треугольника (как это и есть, кроме случая высот в тупом или прямоугольном треугольнике), мы имеем следующую ситуацию: $A, B, C$ являются вершинами треугольника, $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ внутренние точки на противоположных сторонах соответственно; и мы должны рассмотреть сумму $ AA^{\prime} + BB^{\prime} + CC^{\prime}$. Поскольку сумма двух любых сторон треугольника больше, чем третья сторона
$AA^{\prime} + A^{\prime}B > AB$,
$AA^{\prime} + A^{\prime}C > AC$
Складывая, получаем
$2AA^{\prime}+BC>AB+CA$
и по аналогии
$2BB^{\prime}+CA>BC+AB$,
$2CC^{\prime}+AB>CA+BC$.
Складывая последние три неравенства, получим
$2(AA^{\prime} + BB^{\prime}+CC^{\prime}) > AB+BC+CA$.
Следовательно, утверждения $II$ и $III$ верны, а утверждение $I$ верно для острых треугольников.
В качестве контрпримера к утверждению $I$ рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием $b$ и углами при основании $A$. Когда $A$ стремится к 0. каждая высота стремится к нулю, в то время как периметр стремтся к $2b$. Угол $A$, достаточно близкий к 0, опровергает утверждение $I$.
