Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3491
2019-06-04 
Разбейте данный треугольник тремя прямыми секущими на семь частей, четыре из которых являются треугольниками (а оставшиеся три пятиугольниками). Одна из треугольных частей образована тремя секущими, каждая из трех других треугольных частей образована некоторой стороной данного треугольника и двумя секущими.
(A) Выберите три прямые секущие так, чтобы четыре треугольных части оказались конгруэнтными. Опишите ваш выбор и нарисуйте ясный чертеж.
(B) Какая часть площади данного треугольника является площадью треугольной части в рассечении, которое вы выбрали?
(Может быть полезным рассмотреть сначала частный вид данного треугольника, для которого решение является особенно простым).
Решение:
Рассмотрим прежде всего простейший специальный случай равностороннего треугольника. Симметрия может привести нас к предположению, что в этом случае четыре треугольных части будут также равносторонними. Однако, если это так, стороны треугольных частей должны быть параллельны сторонам данного треугольника. Это замечание ведет к конфигурации, которая решает общий случай так же, как частный случай равностороннего треугольника: посредством четырех линий, параллельных стороне данного треугольника, рассекаем каждую из двух других сторон на пять равных отрезков. Выполняя это построение три раза по отношению к каждой стороне данного треугольника, мы разделим его на 25 конгруэнтных треугольников, подобных ему. Из этих 25 треугольников мы легко извлечем четыре треугольника, упомянутых в задаче; площадь каждого из них равна 1/25 площади данного треугольника. (Единственность этого решения не доказана).
Разбейте данный треугольник тремя прямыми секущими на семь частей, четыре из которых являются треугольниками (а оставшиеся три пятиугольниками). Одна из треугольных частей образована тремя секущими, каждая из трех других треугольных частей образована некоторой стороной данного треугольника и двумя секущими.
(A) Выберите три прямые секущие так, чтобы четыре треугольных части оказались конгруэнтными. Опишите ваш выбор и нарисуйте ясный чертеж.
(B) Какая часть площади данного треугольника является площадью треугольной части в рассечении, которое вы выбрали?
(Может быть полезным рассмотреть сначала частный вид данного треугольника, для которого решение является особенно простым).
Решение:
Рассмотрим прежде всего простейший специальный случай равностороннего треугольника. Симметрия может привести нас к предположению, что в этом случае четыре треугольных части будут также равносторонними. Однако, если это так, стороны треугольных частей должны быть параллельны сторонам данного треугольника. Это замечание ведет к конфигурации, которая решает общий случай так же, как частный случай равностороннего треугольника: посредством четырех линий, параллельных стороне данного треугольника, рассекаем каждую из двух других сторон на пять равных отрезков. Выполняя это построение три раза по отношению к каждой стороне данного треугольника, мы разделим его на 25 конгруэнтных треугольников, подобных ему. Из этих 25 треугольников мы легко извлечем четыре треугольника, упомянутых в задаче; площадь каждого из них равна 1/25 площади данного треугольника. (Единственность этого решения не доказана).
