Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3490
2019-06-04 
Назовем вершину тетраэдра трехпрямоугольной, если три ребра, начинающиеся от нее, перпендикулярны друг к другу. Имея площади $A, B$ и $C$ трех граней, примыкающих к трехпрямоугольной вершине тетраэдра, определить площадь $D$ четвертой грани противоположной этой вершине. (Какую задачу в планиметрии вы бы отнесли к аналогичной?)
Решение:
Плоскость, проходящая через $h$ и трехпрямоугольную вершину, пересекает тетраэдр, сечением которого является прямоугольный треугольник с гипотенузой $h$, одной стороной $p$ и другой стороной, скажем $k$, которая является высотой, перпендикулярной стороне $a$ в треугольнике площадью $A$. Следовательно,
$h^{2} = k^{2}+p^{2}$ и $A = \frac{1}{2}ak$.
Поскольку $2D = ah$, из последних двух соотношений следует, что
$4D^{2} = a^{2}h^{2} = a^{2}(k^{2}+p^{2}) = 4A^{2}+a^{2}p^{2}$.
Используя соотношение, установленное перед этим (первоначально данное в указаниях), получим далее
$4D^{2} = 4A^{2}+(r^{2}+q^{2})p^{2} = 4A^{2}+(rp)^{2}+(pq)^{2}$.
Используя два соотношения, установленных ранее, и деля на 4, получим окончательное выражение
$D^{2} = A^{2} + B^{2} + C^{2}$,
которое аналогично теореме Пифагора.
Назовем вершину тетраэдра трехпрямоугольной, если три ребра, начинающиеся от нее, перпендикулярны друг к другу. Имея площади $A, B$ и $C$ трех граней, примыкающих к трехпрямоугольной вершине тетраэдра, определить площадь $D$ четвертой грани противоположной этой вершине. (Какую задачу в планиметрии вы бы отнесли к аналогичной?)
Решение:
Плоскость, проходящая через $h$ и трехпрямоугольную вершину, пересекает тетраэдр, сечением которого является прямоугольный треугольник с гипотенузой $h$, одной стороной $p$ и другой стороной, скажем $k$, которая является высотой, перпендикулярной стороне $a$ в треугольнике площадью $A$. Следовательно,
$h^{2} = k^{2}+p^{2}$ и $A = \frac{1}{2}ak$.
Поскольку $2D = ah$, из последних двух соотношений следует, что
$4D^{2} = a^{2}h^{2} = a^{2}(k^{2}+p^{2}) = 4A^{2}+a^{2}p^{2}$.
Используя соотношение, установленное перед этим (первоначально данное в указаниях), получим далее
$4D^{2} = 4A^{2}+(r^{2}+q^{2})p^{2} = 4A^{2}+(rp)^{2}+(pq)^{2}$.
Используя два соотношения, установленных ранее, и деля на 4, получим окончательное выражение
$D^{2} = A^{2} + B^{2} + C^{2}$,
которое аналогично теореме Пифагора.
