Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3488
2019-06-04 
Десять человек сидят вокруг стола. Сумма в десять долларов должна быть распределена среди них по правилу, согласно которому каждый получает одну половину от суммы, которую его два соседа получают вместе. Есть ли только один путь, чтобы распределить деньги таким образом? Докажите ваш ответ.
Решение:
Пусть $A, B, C, D, \cdots, J$ являются сидящими вокруг стола людьми, $a, b, c, d, \cdots, j$ - количество полученного ими соответственно; $B$ сидит направо от $A, C$ - направо от $B, \cdots, A$ - направо от $J$. Правило выражается равенствами
$b = \frac {a+c}{2}, c = \frac {b+d}{2}, d = \frac {c+e}{2}, \cdots, \frac {j+b}{2}$.
Первое решение. Из верхних равенств следует, что
$b-a = c-b = d-c = \cdots = a-j$,
так что доля каждого превышает долю его соседа слева на то же количество. Это постоянное превышение должно быть нулевым, поскольку
$(b-a)+(c-b)+(d-c)+ \cdots +(a-j) = 0$.
Существует только один способ распределить деньги: все доли равны.
Второе решение. Один (или несколько) из сидящих за столом должен получить максимальное количество. Пусть таким будет $B$. Тогда ни одно из количеств $a, \cdots, j$; не будет больше чем $b$ и, в частности,
$b-a \geq 0, b-c \geq 0$.
Кроме того, согласно условию задачи
$b-a = -(b-c)$.
Следовательно, обе величины $b-a$ и $b-c$ должны равняться нулю. Таким образом, $c$ также достигает максимума как $d$ и т.д. Следовательно, $a=b=c= \cdots = j$.
Десять человек сидят вокруг стола. Сумма в десять долларов должна быть распределена среди них по правилу, согласно которому каждый получает одну половину от суммы, которую его два соседа получают вместе. Есть ли только один путь, чтобы распределить деньги таким образом? Докажите ваш ответ.
Решение:
Пусть $A, B, C, D, \cdots, J$ являются сидящими вокруг стола людьми, $a, b, c, d, \cdots, j$ - количество полученного ими соответственно; $B$ сидит направо от $A, C$ - направо от $B, \cdots, A$ - направо от $J$. Правило выражается равенствами
$b = \frac {a+c}{2}, c = \frac {b+d}{2}, d = \frac {c+e}{2}, \cdots, \frac {j+b}{2}$.
Первое решение. Из верхних равенств следует, что
$b-a = c-b = d-c = \cdots = a-j$,
так что доля каждого превышает долю его соседа слева на то же количество. Это постоянное превышение должно быть нулевым, поскольку
$(b-a)+(c-b)+(d-c)+ \cdots +(a-j) = 0$.
Существует только один способ распределить деньги: все доли равны.
Второе решение. Один (или несколько) из сидящих за столом должен получить максимальное количество. Пусть таким будет $B$. Тогда ни одно из количеств $a, \cdots, j$; не будет больше чем $b$ и, в частности,
$b-a \geq 0, b-c \geq 0$.
Кроме того, согласно условию задачи
$b-a = -(b-c)$.
Следовательно, обе величины $b-a$ и $b-c$ должны равняться нулю. Таким образом, $c$ также достигает максимума как $d$ и т.д. Следовательно, $a=b=c= \cdots = j$.
