Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3487
2019-06-04 
Постройте шестиугольник путем добавления к произвольно заданному треугольнику $\triangle$ трех внешних равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет угол $120^{\circ}$ против той стороны $\triangle$, которая образует его основание. Показать, что три вершины шестиугольника, которые не являются вершинами данного $\triangle$, являются вершинами равностороннего треугольника. (Достаточно выразить только одну сторону $s$ упомянутого выше равностороннего треугольника через стороны $a,\:b$ и $c$ треугольника $\triangle$, доказав, что это выражение для а симметрично относительно $a,\:b$ и $c$).
Решение:
Пусть $\alpha$ означает угол противоположный стороне $a$ треугольника $\triangle$. Равные стороны равнобедренных треугольников с основаниями $b$ и $c$ имеют длины $\sqrt{3}$ и $c\sqrt{3}$ соответственно. Две из этих сторон образуют с $s$ треугольник такой, что угол против $s$ равен $\alpha + \pi/3$. Теорема косинусов примененная к этому треугольнику, дает
$3s^{2} = b^{2}+c^{2}-2bc \cos (\alpha+ \frac {\pi}{3})$.
Применяя теорему косинусов к данному треугольнику $\triangle$, чтобы выразить $bc \cos \alpha$ и положив $bc \sin \alpha = 2T$, где $T$ площадь $\triangle$, получим
$6s^{2}=a^{2} + b^{2}+c^{2} + 4 \sqrt{3}T$.
Поскольку $T$ симметрично относительно $a, b$ и $c$, то это искомое выражение.
Постройте шестиугольник путем добавления к произвольно заданному треугольнику $\triangle$ трех внешних равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет угол $120^{\circ}$ против той стороны $\triangle$, которая образует его основание. Показать, что три вершины шестиугольника, которые не являются вершинами данного $\triangle$, являются вершинами равностороннего треугольника. (Достаточно выразить только одну сторону $s$ упомянутого выше равностороннего треугольника через стороны $a,\:b$ и $c$ треугольника $\triangle$, доказав, что это выражение для а симметрично относительно $a,\:b$ и $c$).
Решение:
Пусть $\alpha$ означает угол противоположный стороне $a$ треугольника $\triangle$. Равные стороны равнобедренных треугольников с основаниями $b$ и $c$ имеют длины $\sqrt{3}$ и $c\sqrt{3}$ соответственно. Две из этих сторон образуют с $s$ треугольник такой, что угол против $s$ равен $\alpha + \pi/3$. Теорема косинусов примененная к этому треугольнику, дает
$3s^{2} = b^{2}+c^{2}-2bc \cos (\alpha+ \frac {\pi}{3})$.
Применяя теорему косинусов к данному треугольнику $\triangle$, чтобы выразить $bc \cos \alpha$ и положив $bc \sin \alpha = 2T$, где $T$ площадь $\triangle$, получим
$6s^{2}=a^{2} + b^{2}+c^{2} + 4 \sqrt{3}T$.
Поскольку $T$ симметрично относительно $a, b$ и $c$, то это искомое выражение.
