Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3484
2019-06-04 
Вершина пирамиды, расположенная против ее основания называется верхушкой.
(A) Назовем пирамиду "равнобедренной", если ее верхушка расположена на одинаковом расстоянии от всех вершин основания. Приняв это определение, доказать, что основание равнобедренной пирамиды вписывается в окружность, центр которой является основанием высоты пирамиды.
(B) Теперь назовем пирамиду равнобедренной, если ее верхушка расположена на одинаковом (по перпендикулярам) расстоянии от всех сторон основания. Приняв это определение (отличное от вышеприведенного), доказать, что основание равнобедренной пирамиды описывается около окружности, центр которой является основанием высоты пирамиды.
Решение:
Основание пирамиды является многоугольником с $n$ сторонами. В случае $(A) n$ боковых ребер пирамиды равны; в случае $(B)$ высоты (проведенные из верхушки) ее $n$ боковых граней равны. Проведите высоту пирамиды и соедините ее основание с $n$ вершинами основания пирамиды в случае $(A)$, но с основаниями высот $n$ боковых граней в случае $(B)$. В обоих случаях получаем $n$ конгруэнтных прямоугольных треугольника. Они имеют одну сторону (высоту пирамиды) общую, а гипотенуза боковое ребро в случае $(A)$ и боковая высота в случае $(B)$ - одной и той же длины в каждом. Следовательно, третьи стороны в конгруэнтных треугольниках должны быть равны. Поскольку они проведены из той же самой точки (основания высоты) в той же плоскости (в основании), они образуют $n$ радиусов круга, который описан около или вписан в основание пирамиды, в случаях $(A)$ и $(B)$ соответственно. В случае $(B)$ остается показать, что $n$ упомянутых радиусов перпендикулярны соответствующим сторонам основания, но это следует из хорошо известной теоремы стереометрии.
Вершина пирамиды, расположенная против ее основания называется верхушкой.
(A) Назовем пирамиду "равнобедренной", если ее верхушка расположена на одинаковом расстоянии от всех вершин основания. Приняв это определение, доказать, что основание равнобедренной пирамиды вписывается в окружность, центр которой является основанием высоты пирамиды.
(B) Теперь назовем пирамиду равнобедренной, если ее верхушка расположена на одинаковом (по перпендикулярам) расстоянии от всех сторон основания. Приняв это определение (отличное от вышеприведенного), доказать, что основание равнобедренной пирамиды описывается около окружности, центр которой является основанием высоты пирамиды.
Решение:
Основание пирамиды является многоугольником с $n$ сторонами. В случае $(A) n$ боковых ребер пирамиды равны; в случае $(B)$ высоты (проведенные из верхушки) ее $n$ боковых граней равны. Проведите высоту пирамиды и соедините ее основание с $n$ вершинами основания пирамиды в случае $(A)$, но с основаниями высот $n$ боковых граней в случае $(B)$. В обоих случаях получаем $n$ конгруэнтных прямоугольных треугольника. Они имеют одну сторону (высоту пирамиды) общую, а гипотенуза боковое ребро в случае $(A)$ и боковая высота в случае $(B)$ - одной и той же длины в каждом. Следовательно, третьи стороны в конгруэнтных треугольниках должны быть равны. Поскольку они проведены из той же самой точки (основания высоты) в той же плоскости (в основании), они образуют $n$ радиусов круга, который описан около или вписан в основание пирамиды, в случаях $(A)$ и $(B)$ соответственно. В случае $(B)$ остается показать, что $n$ упомянутых радиусов перпендикулярны соответствующим сторонам основания, но это следует из хорошо известной теоремы стереометрии.
