Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3483
2019-06-04 
Боб, Петер и Пауль путешествуют вместе. Петер и Пауль - хорошие пешеходы; каждый проходит $p$ миль в час. У Боба - больные ноги и он едет на маленькой машине, в которой могут ехать два человека, но не три; машина покрывает с миль в час. Трое друзей приняли следующий план: они стартуют вместе, Пауль едет в машине вместе с Бобом, а Петер идет пешком. После некоторого промежутка времени, Боб высаживает Пауля, который идет пешком; Боб поворачивает, чтобы забрать Петера и затем Боб и Петер едут в машине, пока не догонят Пауля. В этом месте они меняются: Пауль едет, а Петер идет пешком так же, как они начинали, и вся процедура повторяется столько, сколько это необходимо.
(A) Как далеко (сколько миль) продвигается компания за час.
(B) В течение какого промежутка от времени путешествия машина везет только одного человека?
(C) Проверьте предельные случаи $p=0$ и $р=с$.
Решение:
(А) Боб, Пауль и Петер проделали равный путь, поэтому имеем
$ct_{1}-ct_{2}+ct_{3} = ct_{1}+pt_{2}+pt_{3} = pt_{1}+pt_{2}+ct{3}$.
Второе уравнение дает
$(c-p)t_{1}=(c-p)t_{3}$.
Поскольку мы полагаем, что $c>p$, то $t_{1}=t_{3}$, т.е. Петер идет пешком столько же, сколько и Пауль. Из первого уравнения находим, что
$(c-p)t_{3}=(c+p)t_{2}$
и поэтому получаем
$\frac {t_{1}}{t_{2}} = \frac {t_{3}}{t_{2}} = \frac {c+p}{c-p}$
Следовательно, продвижение за час равно
$\frac {c(t_{1}-t_{2}+t_{3})}{t_{1} + t_{2}+t_{3}} = \frac {c(c+3p)}{3c+p}$
(B) $\frac {t_{2}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}=\frac {c-p}{3c+p}$.
(С) В экстремальном случае $p = 0$, (А) дает $c/3$, а (В) дает 1/3. Если $p = c (A)$ дает $c$, а $(B)$ дает 0. Эти значения интуитивно разумны.
Боб, Петер и Пауль путешествуют вместе. Петер и Пауль - хорошие пешеходы; каждый проходит $p$ миль в час. У Боба - больные ноги и он едет на маленькой машине, в которой могут ехать два человека, но не три; машина покрывает с миль в час. Трое друзей приняли следующий план: они стартуют вместе, Пауль едет в машине вместе с Бобом, а Петер идет пешком. После некоторого промежутка времени, Боб высаживает Пауля, который идет пешком; Боб поворачивает, чтобы забрать Петера и затем Боб и Петер едут в машине, пока не догонят Пауля. В этом месте они меняются: Пауль едет, а Петер идет пешком так же, как они начинали, и вся процедура повторяется столько, сколько это необходимо.
(A) Как далеко (сколько миль) продвигается компания за час.
(B) В течение какого промежутка от времени путешествия машина везет только одного человека?
(C) Проверьте предельные случаи $p=0$ и $р=с$.
Решение:
(А) Боб, Пауль и Петер проделали равный путь, поэтому имеем
$ct_{1}-ct_{2}+ct_{3} = ct_{1}+pt_{2}+pt_{3} = pt_{1}+pt_{2}+ct{3}$.
Второе уравнение дает
$(c-p)t_{1}=(c-p)t_{3}$.
Поскольку мы полагаем, что $c>p$, то $t_{1}=t_{3}$, т.е. Петер идет пешком столько же, сколько и Пауль. Из первого уравнения находим, что
$(c-p)t_{3}=(c+p)t_{2}$
и поэтому получаем
$\frac {t_{1}}{t_{2}} = \frac {t_{3}}{t_{2}} = \frac {c+p}{c-p}$
Следовательно, продвижение за час равно
$\frac {c(t_{1}-t_{2}+t_{3})}{t_{1} + t_{2}+t_{3}} = \frac {c(c+3p)}{3c+p}$
(B) $\frac {t_{2}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}=\frac {c-p}{3c+p}$.
(С) В экстремальном случае $p = 0$, (А) дает $c/3$, а (В) дает 1/3. Если $p = c (A)$ дает $c$, а $(B)$ дает 0. Эти значения интуитивно разумны.
