Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3482
2019-06-04 
(А) Определите три числа $p, q$ и $r$ такие, что уравнение
$x^{4} + 4x^{3} - 2x^{2} - 12x + 9 = (px^2 + qx + r)^2$
выполняется тождественно для переменной $x$.
(В) Эта задача требует точного извлечения квадратного корня данного многочлена четвертой степени, которое может быть возможным в данном случае, хотя обычно это невозможно. Почему невозможно?
Решение:
(A) Сравнивая коэффициенты у одинаковых степеней в обеих частях тождества, получаем
$1 = p^{2}, 4 = 2pq, -2 = q^{2}+2pr, -12 = 2qr, 9=r^{2}$.
Первые три уравнения, используемые последовательно, определяют две системы решений
$p=1, q=2, r=-3$ и $p=-1, q=-2, r=3$,
обе из которых также удовлетворяют оставшимся двум уравнениям.
(B) Обычно невозможно удовлетворить системе с большим числом уравнений, чем число неизвестных.
(А) Определите три числа $p, q$ и $r$ такие, что уравнение
$x^{4} + 4x^{3} - 2x^{2} - 12x + 9 = (px^2 + qx + r)^2$
выполняется тождественно для переменной $x$.
(В) Эта задача требует точного извлечения квадратного корня данного многочлена четвертой степени, которое может быть возможным в данном случае, хотя обычно это невозможно. Почему невозможно?
Решение:
(A) Сравнивая коэффициенты у одинаковых степеней в обеих частях тождества, получаем
$1 = p^{2}, 4 = 2pq, -2 = q^{2}+2pr, -12 = 2qr, 9=r^{2}$.
Первые три уравнения, используемые последовательно, определяют две системы решений
$p=1, q=2, r=-3$ и $p=-1, q=-2, r=3$,
обе из которых также удовлетворяют оставшимся двум уравнениям.
(B) Обычно невозможно удовлетворить системе с большим числом уравнений, чем число неизвестных.
