Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3480
2019-06-04 
Покажите, что невозможно определить (действительные или комплексные) числа $a, b, c, A, B$ и $C$ такие, что уравнение
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(ax+by+cz)(A_x + B_y + C_z)$
выполняется тождественно для независимых переменных $x, у$ и $z$.
Решение:
Раскрывая правую часть предполагаемого тождества и приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем
$aA=bB=cC=1$, (1)
$bC+cB=cA+aC = aB+bA=0$. (2)
Из (2) устанавливаем, что
$bC = -cB, cA = -aC, aB = -bA$
и перемножая эти три выражения, получаем, что
$abcABC = -abcABC$,
откуда
$abcABC = 0$.
Также из (1) устанавливаем, что
$abcABC = 1$.
Следовательно, предполагаемое тождество невозможно.
Покажите, что невозможно определить (действительные или комплексные) числа $a, b, c, A, B$ и $C$ такие, что уравнение
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(ax+by+cz)(A_x + B_y + C_z)$
выполняется тождественно для независимых переменных $x, у$ и $z$.
Решение:
Раскрывая правую часть предполагаемого тождества и приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем
$aA=bB=cC=1$, (1)
$bC+cB=cA+aC = aB+bA=0$. (2)
Из (2) устанавливаем, что
$bC = -cB, cA = -aC, aB = -bA$
и перемножая эти три выражения, получаем, что
$abcABC = -abcABC$,
откуда
$abcABC = 0$.
Также из (1) устанавливаем, что
$abcABC = 1$.
Следовательно, предполагаемое тождество невозможно.
