ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-06-04   
Рассмотрим равенства

$1 = 1$,
$3+5 = 8$,
$7+9+11 = 27$,
$13+15+17+19 = 64$,
$21+23+25+27+29 = 125$.

Установите общий закон в данном примере, выразите его математически и докажите.


Решение:


На $n$-ой строчке правая часть, по-видимому, будет $n^{3}$, а левая часть будет суммой $n$ членов. Конечный член этой суммы равен нечетному числу $m$ или $2m-1$, где

$m = \frac {n(n+1)}{2}$.

Следовательно, последний член суммы в левой части должен быть

$2m-1 = n^{2} + n-1$.

Начальный член рассматриваемой суммы может быть установлен двумя способами: сперва путем возвращения назад на $n-1$ шагов от конечного члена, затем путем продвижения на один шаг от конечного члена предыдущей строки:

$(n^{2}+n-1)-2(n-1) = n^{2}-n+1$,
$((n - 1)^{2}+(n-1)-1)+2 = n^{2}-n+1$.

Но $(n^{2}-n+1)+(n^{2}-n+3)+ \cdots +(n^{2}+n-1)$ является суммой $n$ последовательных членов арифметической прогрессии, чья общая разность равна 2. Ее сумма равна

$\frac{(n^{2}-n+1)+(n^{3}+n-1)}{2}\cdot n = n^{3}$

(Быстрая проверка убеждает, что $n$-ый ряд состоит из членов, среднее которых равно $n^{2}$).