Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3477
2019-06-04 
Четыре точки $G, H, V$ и $U$ являются (в указанном порядке) четырьмя вершинами четырехугольника. Геодезист хочет определить длину $UV=x$. Он знает длину $GH = l$ и измеряет четыре угла
$\angle GUH = \alpha, \angle HUV = \beta, \angle UVG = \gamma,\angle GVH = \delta$.
(A) Выразите $x$ через $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, и $l$.
(B) Найдите путь проверить правильность результата.
(C) Если у вас есть ясный план как сделать (А) охарактеризуйте его одним коротким предложением.
Решение:
(А) Составляя уравнения, мы считаем, что $x$ и углы $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ заданы, $l$ - неизвестна. Из $\triangle UVG$ находим $GV$ через $x, \alpha + \beta$ и $\gamma$ (теорема синусов). Из $\triangle VUH$ находим $HV$ через $x, \beta$ и $\gamma + \delta$ (теорема синусов). Из $\triangle GHV$ находим $l$ через $GV$, $HV$ и $\delta$ (теорема синусов), а используя выражения для $GV$ и $HV$, получаем
$l^{2} = x^{2} \left [ \frac {\sin^{2}(\alpha+\beta)}{sin^{2}(\alpha+\beta+\gamma)} + \frac {\sin^{2}\beta}{sin^{2}(\beta+\gamma+\delta)} - \frac {2 \sin (\alpha+\beta) \sin \beta \cos \delta}{\sin(\alpha+\beta+\gamma) \sin(\beta+\gamma+\delta)} \right ]$.
(В) В частном случае, в котором $\alpha = \delta, \beta = \gamma, \alpha + \beta = \gamma + \delta = \pi/2$ верхнее уравнение дает $x = l$, как это и должно быть. Можно рассмотреть также случай, в котором $\alpha = \delta, \beta = \gamma$, но значение $\alpha + \beta$, не устанавливается, и случай, в котором $\delta, \gamma, \beta$ и $\alpha$ подставляются вместо $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$ соответственно. Окончательно, можете также проверить размерность.
(С) Неизвестное и одно из данных меняются ролями.
Четыре точки $G, H, V$ и $U$ являются (в указанном порядке) четырьмя вершинами четырехугольника. Геодезист хочет определить длину $UV=x$. Он знает длину $GH = l$ и измеряет четыре угла
$\angle GUH = \alpha, \angle HUV = \beta, \angle UVG = \gamma,\angle GVH = \delta$.
(A) Выразите $x$ через $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, и $l$.
(B) Найдите путь проверить правильность результата.
(C) Если у вас есть ясный план как сделать (А) охарактеризуйте его одним коротким предложением.
Решение:
(А) Составляя уравнения, мы считаем, что $x$ и углы $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ заданы, $l$ - неизвестна. Из $\triangle UVG$ находим $GV$ через $x, \alpha + \beta$ и $\gamma$ (теорема синусов). Из $\triangle VUH$ находим $HV$ через $x, \beta$ и $\gamma + \delta$ (теорема синусов). Из $\triangle GHV$ находим $l$ через $GV$, $HV$ и $\delta$ (теорема синусов), а используя выражения для $GV$ и $HV$, получаем
$l^{2} = x^{2} \left [ \frac {\sin^{2}(\alpha+\beta)}{sin^{2}(\alpha+\beta+\gamma)} + \frac {\sin^{2}\beta}{sin^{2}(\beta+\gamma+\delta)} - \frac {2 \sin (\alpha+\beta) \sin \beta \cos \delta}{\sin(\alpha+\beta+\gamma) \sin(\beta+\gamma+\delta)} \right ]$.
(В) В частном случае, в котором $\alpha = \delta, \beta = \gamma, \alpha + \beta = \gamma + \delta = \pi/2$ верхнее уравнение дает $x = l$, как это и должно быть. Можно рассмотреть также случай, в котором $\alpha = \delta, \beta = \gamma$, но значение $\alpha + \beta$, не устанавливается, и случай, в котором $\delta, \gamma, \beta$ и $\alpha$ подставляются вместо $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$ соответственно. Окончательно, можете также проверить размерность.
(С) Неизвестное и одно из данных меняются ролями.
