Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3476
2019-06-04 
Найти $x, y, u$ и $v$, удовлетворяющие системе четырех уравнений
$x+7y+3v+5u = 16$,
$8x+4y+6v+2u = -16$,
$2x+6y+4v+8u = 16$,
$5x+3y+7v+u = -16$.
(Это может показаться долгим и скучным, но поищите путь покороче).
Решение:
Заметим, что первое и четвертое уравнения находятся в таком же соотношении, как второе и третье уравнения: левые части имеют те же коэффициенты, но в противоположном порядке, а правые части противоположны. Складывая первое уравнение с четвертым и второе с третьим, получаем
$6(x+u) + 10(y+v)=0$,
$10(x+u)+ 10(y+v) = 0$,
откуда следует, что $x+u=0$ и $y + v = 0$. Подставляя $-x$ вместо $u$ и $-y$ вместо $v$ в первоначальные уравнения, находим
$-4x+4y = 16$,
$6x-2y = -16$.
Следовательно, $x = -2, y = 2, u = 2, v = -2$.
Найти $x, y, u$ и $v$, удовлетворяющие системе четырех уравнений
$x+7y+3v+5u = 16$,
$8x+4y+6v+2u = -16$,
$2x+6y+4v+8u = 16$,
$5x+3y+7v+u = -16$.
(Это может показаться долгим и скучным, но поищите путь покороче).
Решение:
Заметим, что первое и четвертое уравнения находятся в таком же соотношении, как второе и третье уравнения: левые части имеют те же коэффициенты, но в противоположном порядке, а правые части противоположны. Складывая первое уравнение с четвертым и второе с третьим, получаем
$6(x+u) + 10(y+v)=0$,
$10(x+u)+ 10(y+v) = 0$,
откуда следует, что $x+u=0$ и $y + v = 0$. Подставляя $-x$ вместо $u$ и $-y$ вместо $v$ в первоначальные уравнения, находим
$-4x+4y = 16$,
$6x-2y = -16$.
Следовательно, $x = -2, y = 2, u = 2, v = -2$.
