Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3475
2019-06-04 
Заметьте, что значение
$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+ \cdots \frac{n}{(n+1)!}$
равно $\frac{1}{2}, \frac{5}{6}, \frac{23}{24}$ для $n = 1, 2, 3$ соответственно. Определите общую закономерность (давая $n$ большие значения, если необходимо) и докажите ваш закон.
Решение:
Общий закон имеет вид
$ \frac{1}{2!} + \frac {2}{3!}+ \cdots + \frac {n}{(n+1)!} = 1- \frac {1}{(n+1)!}$.
Шаг от $n$ к $n+1$ требует, чтобы
$\frac {n+1}{(n+2)!} = - \frac {1}{(n+2)!}+ \frac {1}{(n+1)!}$
или
$\frac {n + 2}{(n+2)!}= \frac {1}{(n+1)!}$,
которое истинно для $n = 1, 2, 3, \cdots$.
Заметьте, что значение
$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+ \cdots \frac{n}{(n+1)!}$
равно $\frac{1}{2}, \frac{5}{6}, \frac{23}{24}$ для $n = 1, 2, 3$ соответственно. Определите общую закономерность (давая $n$ большие значения, если необходимо) и докажите ваш закон.
Решение:
Общий закон имеет вид
$ \frac{1}{2!} + \frac {2}{3!}+ \cdots + \frac {n}{(n+1)!} = 1- \frac {1}{(n+1)!}$.
Шаг от $n$ к $n+1$ требует, чтобы
$\frac {n+1}{(n+2)!} = - \frac {1}{(n+2)!}+ \frac {1}{(n+1)!}$
или
$\frac {n + 2}{(n+2)!}= \frac {1}{(n+1)!}$,
которое истинно для $n = 1, 2, 3, \cdots$.
