Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3473
2019-06-04 
Доказать, что единственным решением уравнения
$x^{2}+y^{3}+z^{2} = 2xyz$
в целых числах $x$, $y$ и $z$ является $x = y = z = 0$.
Решение:
Допустим, что $x, y$ и $z$ целые. Пусть $2^{k}$, $k \geq 0$ является наибольшей степенью двойки, которая делит $x, y$ и $z$ так, что $x = 2^{k}x^{\prime}, y = 2^{k}y^{\prime}$ и $z = 2^{k}z^{\prime}$. Тогда, подставляя в данное уравнение и деля на $2^{2k}$, получаем
$(x^{\prime})^{2}+(y^{\prime})^{2}+(z^{\prime})^{2}= 2^{k+1}x^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}$.
Поскольку член в правой части является четным, то и левая сторона - четна, и либо $x^{\prime}, y^{\prime}$ и $z^{\prime}$ все четные; либо только одно из них. Но если $x^{\prime},\:y^{\prime}$ и $z^{\prime}$ все не равны нулю (а если один равен нулю, то и другие равны нулю), они не могут все быть четными, потому что 2 не является их общим множителем. Допустим, что $x^{\prime}$ - четное, а $y^{\prime}$, и $z^{\prime}$ - нечетные. Вычитая $(x^{\prime})^{2}$ от обеих частей выше написанного уравнения, получаем
$(y^{\prime})^{2}+(z^{\prime})^{2} = x^{\prime}(2^{k+1}y^{\prime}z^{\prime} - x^{\prime})$.
Как $(у^{\prime})^{2}$ так и $(z^{\prime})^{2}$ представляются в виде $4n^{2} + 4n+1$ и поэтому левая часть, деленная на 4, оставляет в остатке 2, тогда как правая часть делится на 4 без остатка (как $x^{\prime}$ так и число в круглых скобках - четные): противоречие.
Доказать, что единственным решением уравнения
$x^{2}+y^{3}+z^{2} = 2xyz$
в целых числах $x$, $y$ и $z$ является $x = y = z = 0$.
Решение:
Допустим, что $x, y$ и $z$ целые. Пусть $2^{k}$, $k \geq 0$ является наибольшей степенью двойки, которая делит $x, y$ и $z$ так, что $x = 2^{k}x^{\prime}, y = 2^{k}y^{\prime}$ и $z = 2^{k}z^{\prime}$. Тогда, подставляя в данное уравнение и деля на $2^{2k}$, получаем
$(x^{\prime})^{2}+(y^{\prime})^{2}+(z^{\prime})^{2}= 2^{k+1}x^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}$.
Поскольку член в правой части является четным, то и левая сторона - четна, и либо $x^{\prime}, y^{\prime}$ и $z^{\prime}$ все четные; либо только одно из них. Но если $x^{\prime},\:y^{\prime}$ и $z^{\prime}$ все не равны нулю (а если один равен нулю, то и другие равны нулю), они не могут все быть четными, потому что 2 не является их общим множителем. Допустим, что $x^{\prime}$ - четное, а $y^{\prime}$, и $z^{\prime}$ - нечетные. Вычитая $(x^{\prime})^{2}$ от обеих частей выше написанного уравнения, получаем
$(y^{\prime})^{2}+(z^{\prime})^{2} = x^{\prime}(2^{k+1}y^{\prime}z^{\prime} - x^{\prime})$.
Как $(у^{\prime})^{2}$ так и $(z^{\prime})^{2}$ представляются в виде $4n^{2} + 4n+1$ и поэтому левая часть, деленная на 4, оставляет в остатке 2, тогда как правая часть делится на 4 без остатка (как $x^{\prime}$ так и число в круглых скобках - четные): противоречие.
