Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3472
2019-06-04 
Рассмотрим прямую усеченную пирамиду с квадратным основанием. Назовем "срединным сечением” пересечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию и верхней плоскости пирамиды и расположенной на одинаковых расстояниях от обоих. Назовем "срединным прямоугольником" прямоугольник, у которого одна сторона равна стороне основания, а другая сторона равна стороне верхнего основания.
Четыре ваших друга согласны, что объем усеченной пирамиды равен высоте, умноженной на некоторую площадь, но они не согласны между собой относительно этой площади и высказывают следующие четыре предположения о том, что эта площадь является:
I средним сечением;
II средней величиной нижнего и верхнего оснований;
III средней величиной нижнего основания, верхнего основания и срединного сечения;
IV средней величиной нижнего основания, верхнего основания и срединного прямоугольника.
Пусть $h$ является высотой усеченной пирамиды, $a$ - стороной ее основания и $b$ - стороной ее верхнего основания.
Выразите каждое из четырех предположений в математической форме, решите какое из предположений правильное и докажите свой ответ.
Решение:
Согласно четырем предположениям, объем усеченного конуса равен соответственно
I $\left [ \frac{a+b}{2} \right ]^{2}h$,
II $\left [ \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \right ]h$,
III $\left [ a^{2} + b^{2}+ \frac{(a+b)^{2}}{4} \right ] \frac{h}{3}$,
IV $[a^{2}+b^{2}+ab] \frac{h}{3}$.
Если $b=a$, усеченный конус становится призмой с объемом $a^{2}h$: все четыре предположения находятся в согласии с полученным правильным результатом. Если $b=0$, усеченный конус становится пирамидой с объемом $\frac{а^{2}h}{3}$: только IV дает это и поэтому другие должны, быть неверными.
Чтобы доказать, что IV, вообще говоря, правильно, обозначим через $x$ высоту маленькой пирамиды, отрезанной от полной пирамиды, чтобы сделать ее усеченной. Если объемы усеченного конуса, полной пирамиды и маленькой пирамиды равны $F, А$ и $B$ соответственно, то
$F = A - B = \frac{a^{2}(x+h)}{3}- \frac{b^{2}x}{3} = [a^{2}h+(a^{2}-b^{2})x] \frac {1}{3}$.
Часть плоскости фигуры, проходящей через высоту и параллельную одной стороне основания, содержит подобные треугольники, чьи стороны приводят к пропорции
$\frac{x}{x+h} = \frac{b}{a}$
так, что
$x = \frac{bh}{a-b}$.
Подставляя это значение $x$ в выражение для $F$, получаем
$F = \left [ a^{2}h + \frac {a^{2}-b^{2}}{a-b}bh \right ] \frac {1}{3} = [a^{2} + b^{2} + ab] \frac {h}{3}$.
Рассмотрим прямую усеченную пирамиду с квадратным основанием. Назовем "срединным сечением” пересечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию и верхней плоскости пирамиды и расположенной на одинаковых расстояниях от обоих. Назовем "срединным прямоугольником" прямоугольник, у которого одна сторона равна стороне основания, а другая сторона равна стороне верхнего основания.
Четыре ваших друга согласны, что объем усеченной пирамиды равен высоте, умноженной на некоторую площадь, но они не согласны между собой относительно этой площади и высказывают следующие четыре предположения о том, что эта площадь является:
I средним сечением;
II средней величиной нижнего и верхнего оснований;
III средней величиной нижнего основания, верхнего основания и срединного сечения;
IV средней величиной нижнего основания, верхнего основания и срединного прямоугольника.
Пусть $h$ является высотой усеченной пирамиды, $a$ - стороной ее основания и $b$ - стороной ее верхнего основания.
Выразите каждое из четырех предположений в математической форме, решите какое из предположений правильное и докажите свой ответ.
Решение:
Согласно четырем предположениям, объем усеченного конуса равен соответственно
I $\left [ \frac{a+b}{2} \right ]^{2}h$,
II $\left [ \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \right ]h$,
III $\left [ a^{2} + b^{2}+ \frac{(a+b)^{2}}{4} \right ] \frac{h}{3}$,
IV $[a^{2}+b^{2}+ab] \frac{h}{3}$.
Если $b=a$, усеченный конус становится призмой с объемом $a^{2}h$: все четыре предположения находятся в согласии с полученным правильным результатом. Если $b=0$, усеченный конус становится пирамидой с объемом $\frac{а^{2}h}{3}$: только IV дает это и поэтому другие должны, быть неверными.
Чтобы доказать, что IV, вообще говоря, правильно, обозначим через $x$ высоту маленькой пирамиды, отрезанной от полной пирамиды, чтобы сделать ее усеченной. Если объемы усеченного конуса, полной пирамиды и маленькой пирамиды равны $F, А$ и $B$ соответственно, то
$F = A - B = \frac{a^{2}(x+h)}{3}- \frac{b^{2}x}{3} = [a^{2}h+(a^{2}-b^{2})x] \frac {1}{3}$.
Часть плоскости фигуры, проходящей через высоту и параллельную одной стороне основания, содержит подобные треугольники, чьи стороны приводят к пропорции
$\frac{x}{x+h} = \frac{b}{a}$
так, что
$x = \frac{bh}{a-b}$.
Подставляя это значение $x$ в выражение для $F$, получаем
$F = \left [ a^{2}h + \frac {a^{2}-b^{2}}{a-b}bh \right ] \frac {1}{3} = [a^{2} + b^{2} + ab] \frac {h}{3}$.
