Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3471
2019-06-04 
Докажите утверждение: если сторона треугольника меньше, чем среднее (среднее арифметическое) двух других сторон, то ее противоположный угол меньше, чем среднее двух других углов.
Решение:
Поскольку $A + B + C = 180^{\circ}$, доказательство того, что $A < \frac{B+C}{2}$ равносильно доказательству того, что $A < \frac{180^{\circ}-A}{2}$ или $A < 60^{\circ}$. Но $A < 60^{\circ}$ эквивалентно тому, что $\cos A > \frac{1}{2}$, что наводит на мысль использовать теорему косинусов.
Примем, что $b+с > 2a$. Возводя в квадрат обе стороны и применяя теорему косинусов, получим
$b^{2} + 2bc+с^{2} > 4(b^{2}+с^{2}-2bc \cos A)$
или
$8bc \cos A > 3b^{2} + 3c^{2} - 2bc$.
Вычитая $4bc$ от обеих частей неравенства, получаем
$4bc(2 \cos A - 1) > 3(b-c)^{2} \geq 0$.
Следовательно, $\cos A > \frac{1}{2}$.
Докажите утверждение: если сторона треугольника меньше, чем среднее (среднее арифметическое) двух других сторон, то ее противоположный угол меньше, чем среднее двух других углов.
Решение:
Поскольку $A + B + C = 180^{\circ}$, доказательство того, что $A < \frac{B+C}{2}$ равносильно доказательству того, что $A < \frac{180^{\circ}-A}{2}$ или $A < 60^{\circ}$. Но $A < 60^{\circ}$ эквивалентно тому, что $\cos A > \frac{1}{2}$, что наводит на мысль использовать теорему косинусов.
Примем, что $b+с > 2a$. Возводя в квадрат обе стороны и применяя теорему косинусов, получим
$b^{2} + 2bc+с^{2} > 4(b^{2}+с^{2}-2bc \cos A)$
или
$8bc \cos A > 3b^{2} + 3c^{2} - 2bc$.
Вычитая $4bc$ от обеих частей неравенства, получаем
$4bc(2 \cos A - 1) > 3(b-c)^{2} \geq 0$.
Следовательно, $\cos A > \frac{1}{2}$.
