Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3470
2019-06-04 
Рассмотрим прямой усеченный круговой конус. Плоскость, которая параллельна нижнему и верхнему основаниям усеченного конуса и расположена на равных расстояниях от обоих оснований, пересекает усеченный конус в "срединном круге". Усеченный конус и цилиндр имеют одинаковую высоту, и срединный круг конуса является основанием цилиндра.
Какое из этих двух тел имеет больший объем: усеченный конус или цилиндр? Докажите свой ответ!
(Возможным доказательством является алгебраическое: Выразите оба объема в подходящих переменных и преобразуйте их разность так, что знак этой разности становится очевидным).
Решение:
Пусть $h$ - общая высота, а $a$ и $b$ - радиусы нижнего и верхнего оснований усеченного конуса соответственно. Тогда радиус цилиндра равен $(a+b)/2$. Разность объемов усеченного конуса и цилиндра
$\pi h \left [ \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}- \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2} \right ] = \frac{\pi h(a-b)^{2}}{12}$
положительна, если только $a$ не равно $b$ и тела не совпадают.
Рассмотрим прямой усеченный круговой конус. Плоскость, которая параллельна нижнему и верхнему основаниям усеченного конуса и расположена на равных расстояниях от обоих оснований, пересекает усеченный конус в "срединном круге". Усеченный конус и цилиндр имеют одинаковую высоту, и срединный круг конуса является основанием цилиндра.
Какое из этих двух тел имеет больший объем: усеченный конус или цилиндр? Докажите свой ответ!
(Возможным доказательством является алгебраическое: Выразите оба объема в подходящих переменных и преобразуйте их разность так, что знак этой разности становится очевидным).
Решение:
Пусть $h$ - общая высота, а $a$ и $b$ - радиусы нижнего и верхнего оснований усеченного конуса соответственно. Тогда радиус цилиндра равен $(a+b)/2$. Разность объемов усеченного конуса и цилиндра
$\pi h \left [ \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}- \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2} \right ] = \frac{\pi h(a-b)^{2}}{12}$
положительна, если только $a$ не равно $b$ и тела не совпадают.
