Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3464
2019-06-04 
(А) Докажите следующую теорему: точка лежит внутри равностороннего треугольника и расположена на расстоянии $х$, $у$ и $z$ от трех его сторон соответственно; $h$ высота треугольника. Тогда
$x+y+z=h$.
(B) Установите и докажите аналогичную теорему в стереометрии относительно расстояний от внутренней точки до четырех граней правильного тетраэдра.
Обобщите обе теоремы так, чтобы они были бы применимы к любой точке в плоскости или пространстве соответственно (а не только к точкам внутри треугольника или тетраэдра). Дайте четкую и ясную формулировку утверждения и, если у вас будет время, также и доказательство.
Решение:
(A) Пусть $а$ будет стороной равностороннего треугольника. Соединяя точку внутри треугольника с тремя вершинами, Вы разбиваете его на три треугольника с площадями, которые будучи сложенными вместе дают полную площадь: $ax/2 + ay/2 + az/2 = ah/2$, Разделите на $a/2$.
(B) Точка внутри правильного тетраэдра с высотой $h$ расположена на расстояниях $x, y, z$ и $w$ от четырех граней соответственно. Тогда $x+y+z+w = h$. Доказательство аналогично: разделить правильный тетраэдр на четыре тетраэдра.
(C) Соотношение остается в силе в обоих случаях (А) и (В) для внешней точки, при условии, если расстояния $x, у, z$ (и $w$) берутся с соответствующим знаком: плюс (+), когда наблюдатель, расположенный в точке, видит сторону (грань) изнутри, минус (-), когда он видит ее снаружи. Доказательство, в сущности, то же самое.
(А) Докажите следующую теорему: точка лежит внутри равностороннего треугольника и расположена на расстоянии $х$, $у$ и $z$ от трех его сторон соответственно; $h$ высота треугольника. Тогда
$x+y+z=h$.
(B) Установите и докажите аналогичную теорему в стереометрии относительно расстояний от внутренней точки до четырех граней правильного тетраэдра.
Обобщите обе теоремы так, чтобы они были бы применимы к любой точке в плоскости или пространстве соответственно (а не только к точкам внутри треугольника или тетраэдра). Дайте четкую и ясную формулировку утверждения и, если у вас будет время, также и доказательство.
Решение:
(A) Пусть $а$ будет стороной равностороннего треугольника. Соединяя точку внутри треугольника с тремя вершинами, Вы разбиваете его на три треугольника с площадями, которые будучи сложенными вместе дают полную площадь: $ax/2 + ay/2 + az/2 = ah/2$, Разделите на $a/2$.
(B) Точка внутри правильного тетраэдра с высотой $h$ расположена на расстояниях $x, y, z$ и $w$ от четырех граней соответственно. Тогда $x+y+z+w = h$. Доказательство аналогично: разделить правильный тетраэдр на четыре тетраэдра.
(C) Соотношение остается в силе в обоих случаях (А) и (В) для внешней точки, при условии, если расстояния $x, у, z$ (и $w$) берутся с соответствующим знаком: плюс (+), когда наблюдатель, расположенный в точке, видит сторону (грань) изнутри, минус (-), когда он видит ее снаружи. Доказательство, в сущности, то же самое.
