Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3462
2019-06-04 
Доказать, что нет такого числа в последовательности
$11, 111, 1111, 11111, \cdots$,
которое является квадратом целого числа.
Решение:
Если $s$ есть число в последовательности, $s$ должно иметь вид
$11+100m = 4(25m+2)+3$,
где $m$ - неотрицательное целое число и поэтому $s$ оставляет остаток 3, когда делится на 4. Но квадраты имеют вид $4n^{2}$ или $4n^{2} + 4n + 1$ и, следовательно, оставляют остатки либо 0, либо 1, когда делятся на 4.
Доказать, что нет такого числа в последовательности
$11, 111, 1111, 11111, \cdots$,
которое является квадратом целого числа.
Решение:
Если $s$ есть число в последовательности, $s$ должно иметь вид
$11+100m = 4(25m+2)+3$,
где $m$ - неотрицательное целое число и поэтому $s$ оставляет остаток 3, когда делится на 4. Но квадраты имеют вид $4n^{2}$ или $4n^{2} + 4n + 1$ и, следовательно, оставляют остатки либо 0, либо 1, когда делятся на 4.
