Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3461
2019-06-04 
Первая сфера имеет радиус $r_1$. Около этой сферы описан правильный тетраэдр. Около этого тетраэдра описана вторая сфера с радиусом $r_2$. Около этой второй сферы описан куб. Около этого куба описана третья сфера с радиусом $r_{3}$.
Найти отношение и $r_1 \div r_2 \div r_3$ (которое должно быть, согласно Кеплеру, отношением средних расстояний от планет Марс, Юпитер и Сатурн до Солнца, но которое, в действительности, несколько отличается от истинного отношения).
Решение:
В тетраэдре высота является одной стороной прямоугольного треугольника, чья гипотенуза является ребром. Если ребро имеет длину $а$ другая сторона треугольника имеет длину $ a / \sqrt{3}$ (это две трети от высоты грани). Поскольку длина высоты равна $r_{1} + r_{2}$ получаем
$ r_{1} + r_{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$.
Центр тетраэдра лежит на высоте и линейный отрезок длины $r_{2}$, соединяющий центр с противоположной вершиной прямоугольного треугольника, является гипотенузой второго прямоугольного треугольника, чьи стороны имеют длину $r_{1}$ и $a / \sqrt{3}$. Следовательно
$r^{2}_{2} + r^{2}_{1}= \frac{a^{2}}{3}$.
Разделив на предыдущее равенство, получаем систему
$r_{2} - r_{1} = \frac {a\sqrt{6}}{6}$,
$r_{2} + r_{1} = \frac {a\sqrt{6}}{3}$,
чье решение равно $r_{1} = a \sqrt{6} /12$ и $r_{2} = a \sqrt{6} /4$. Следовательно $r_{1} \div r_{2} = 1 \div 3$.
В кубе, если $b$ является длиной ребра, то $r_{2} = b/2$ и $r_{3} = \sqrt{3/2}$. Следовательно $r_{2} \div r_{3} = 1 \div \sqrt{3}$ и $r_{1} \div r_{2} \div r_{3} = 1 \div 3\div 3\sqrt{3}$.
Первая сфера имеет радиус $r_1$. Около этой сферы описан правильный тетраэдр. Около этого тетраэдра описана вторая сфера с радиусом $r_2$. Около этой второй сферы описан куб. Около этого куба описана третья сфера с радиусом $r_{3}$.
Найти отношение и $r_1 \div r_2 \div r_3$ (которое должно быть, согласно Кеплеру, отношением средних расстояний от планет Марс, Юпитер и Сатурн до Солнца, но которое, в действительности, несколько отличается от истинного отношения).
Решение:
В тетраэдре высота является одной стороной прямоугольного треугольника, чья гипотенуза является ребром. Если ребро имеет длину $а$ другая сторона треугольника имеет длину $ a / \sqrt{3}$ (это две трети от высоты грани). Поскольку длина высоты равна $r_{1} + r_{2}$ получаем
$ r_{1} + r_{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$.
Центр тетраэдра лежит на высоте и линейный отрезок длины $r_{2}$, соединяющий центр с противоположной вершиной прямоугольного треугольника, является гипотенузой второго прямоугольного треугольника, чьи стороны имеют длину $r_{1}$ и $a / \sqrt{3}$. Следовательно
$r^{2}_{2} + r^{2}_{1}= \frac{a^{2}}{3}$.
Разделив на предыдущее равенство, получаем систему
$r_{2} - r_{1} = \frac {a\sqrt{6}}{6}$,
$r_{2} + r_{1} = \frac {a\sqrt{6}}{3}$,
чье решение равно $r_{1} = a \sqrt{6} /12$ и $r_{2} = a \sqrt{6} /4$. Следовательно $r_{1} \div r_{2} = 1 \div 3$.
В кубе, если $b$ является длиной ребра, то $r_{2} = b/2$ и $r_{3} = \sqrt{3/2}$. Следовательно $r_{2} \div r_{3} = 1 \div \sqrt{3}$ и $r_{1} \div r_{2} \div r_{3} = 1 \div 3\div 3\sqrt{3}$.
