ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-06-04   
Пусть $\alpha, \beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника. Показать, что

$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac {\gamma}{2}$,
$\sin 2\alpha+\sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$,
$\sin 4\alpha+\sin 4\beta + \sin 4\gamma = -4 \sin 2 \alpha \sin 2\beta \sin 2 \gamma$.


Решение:


Обозначим три тождества как $(a), (b)$ и $(c)$ соответственно. Если

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$,

то

$(\pi -2 \alpha) + (\pi - 2 \beta)+( \pi -2 \gamma) = \pi$.

Мы можем идти от $(a)$ к $(b)$, а также от $(b)$ к $(c)$ посредством подстановки $\pi - 2a, \pi - 2 \beta$ и $\pi - 2 \gamma$ вместо $\alpha, \beta$ и $\gamma$ соответственно. Остается подтвердить $(a)$, что может быть сделано многими способами. Например, подставим $2u, 2v$ и $\pi -2u-2v$ вместо $\alpha, \beta$ и $\gamma$ соответственно. Тогда $(a)$ становится

$ \sin u \cos u + \sin v \cos v = [2 \cos u \cos v - \cos (u+v)] \sin(u+v)$.

Используйте теоремы сложения косинуса и синуса.