Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3453
2019-06-04 
Рассмотреть следующие четыре утверждения, которые необязательно являются истинными:
I Если многоугольник, вписанный в окружность, является равносторонним, то он также является и равноугольным.
II Если многоугольник, вписанный в окружность, является равноугольным, то он также является и равносторонним.
III Если многоугольник, описанный около окружности, является равносторонним, то он является также и равноугольным.
IV Если многоугольник, описанный около окружности, является равноугольным, то он является также и равносторонним.
(A) Установите, какие из четырех утверждений являются истинными, а какие ложными, давая доказательство вашего утверждения в каждом случае.
(B) Если вместо многоугольников общего вида мы рассмотрим только четырехугольники, какие из четырех утверждений истинны, а какие ложные? А если мы рассматриваем только пятиугольники?
При ответе на (B) вы можете строить догадки, но докажите это как можно полнее и ясно отделите что доказано, а что не доказано.
Решение:
(A) Утверждения I и IV, вообще говоря, истинны, но утверждения II и III ложны;
(B) Утверждения II и III ложны; прямоугольник и ромб являются контрпримерами соответственно. Утверждения II и III истинны для пятиугольника и следуют из утверждения $II^{\prime}$ и $III^{\prime}$ соответственно:
$II^{\prime}$. Если многоугольник, вписанный в окружность, является равноугольным, любые две стороны, разделенные точно одной лежащей между ними стороной, являются равными.
$III^{\prime}$. Если многоугольник, описанный около окружности, является равносторонним, любые два угла, разделенные точно одним лежащим между ними углом, являются равными.
Чтобы доказать утверждения $I,\:II^{\prime},\:III^{\prime}$ и $IV$, соединим центр окружности с вершинами многоугольника, проведем перпендикуляры от центра к сторонам и выберем конгруэнтные треугольники.
Рассмотреть следующие четыре утверждения, которые необязательно являются истинными:
I Если многоугольник, вписанный в окружность, является равносторонним, то он также является и равноугольным.
II Если многоугольник, вписанный в окружность, является равноугольным, то он также является и равносторонним.
III Если многоугольник, описанный около окружности, является равносторонним, то он является также и равноугольным.
IV Если многоугольник, описанный около окружности, является равноугольным, то он является также и равносторонним.
(A) Установите, какие из четырех утверждений являются истинными, а какие ложными, давая доказательство вашего утверждения в каждом случае.
(B) Если вместо многоугольников общего вида мы рассмотрим только четырехугольники, какие из четырех утверждений истинны, а какие ложные? А если мы рассматриваем только пятиугольники?
При ответе на (B) вы можете строить догадки, но докажите это как можно полнее и ясно отделите что доказано, а что не доказано.
Решение:
(A) Утверждения I и IV, вообще говоря, истинны, но утверждения II и III ложны;
(B) Утверждения II и III ложны; прямоугольник и ромб являются контрпримерами соответственно. Утверждения II и III истинны для пятиугольника и следуют из утверждения $II^{\prime}$ и $III^{\prime}$ соответственно:
$II^{\prime}$. Если многоугольник, вписанный в окружность, является равноугольным, любые две стороны, разделенные точно одной лежащей между ними стороной, являются равными.
$III^{\prime}$. Если многоугольник, описанный около окружности, является равносторонним, любые два угла, разделенные точно одним лежащим между ними углом, являются равными.
Чтобы доказать утверждения $I,\:II^{\prime},\:III^{\prime}$ и $IV$, соединим центр окружности с вершинами многоугольника, проведем перпендикуляры от центра к сторонам и выберем конгруэнтные треугольники.
