Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3448
2019-06-03 
С выпуклым четырехугольником $ABCD$ проделывают следующую операцию: одну из данных вершин меняют на точку, симметричную этой вершине относительно серединного перпендикуляра к диагонали (концом которой она не является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту операцию последовательно применяют к вершинам $A, B, C, D, A, B, \cdots$ - всего $n$ раз. Назовем четырехугольник допустимым, если его стороны попарно различны и после применения любого числа операций он остается выпуклым. Существует ли:
а) допустимый четырехугольник, который после $n < 5$ операций становится равным исходному;
б) такое число $n_0$, что любой допустимый четырехугольник после $n = n_0$ операций становится равным исходному?
Решение:
Обозначим через $O$ точку пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям. Заметим, что эта точка остается на месте при применении любого количества операций к четырехугольнику. Обозначим углы, образованные сторонами четырехугольника и отрезками $AO, BO, CO, DO$, через $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_8$, как на рис. а. Заметим, что длины сторон не меняются при наших операциях (но меняется порядок сторон). После применения трех операций стороны четырехугольника опять будут расположены в прежнем порядке: $b, c, d, a$, а указанные углы будут расположены, как указано на рис. б.
Если четырехугольник $ABCD$ - вписанный, то $O$ - центр вписанной окружности, $OA, OB, OC$ и $OD$ - радиусы, поэтому $\alpha_1 = \alpha_2, \alpha_3 = \alpha_4, \alpha_5 = \alpha_6$ и $\alpha_7 = \alpha_8$. Значит, $\alpha_1 + \alpha_4 = \alpha_2 + \alpha_3$ и $\alpha_6 + \alpha_7 = \alpha_5 + \alpha_8$, так что четырехугольник $ABCD$ перейдет в равный ему четырехугольник за три операции.
В общем случае после шести операций стороны опять будут расположены в прежнем порядке и углы будут расположены так же, как и вначале.
Вариант решения. а) Для ответа на первый пункт задачи необязательно следить за углами $\alpha_i$. Если сразу оговорить, что четырехугольник вписанный, то останется заметить, что вписанный в данную окружность четырехугольник однозначно определяется длинами и порядком расположения сторон.
б) Можно заметить, что суммы противоположных углов четырехугольника не меняются. После шести операций получится четырехугольник с теми же длинами сторон и теми же суммами противоположных углов. Остается проверить, что четырехугольник определяется однозначно длинами сторон и суммой противоположных углов.
С выпуклым четырехугольником $ABCD$ проделывают следующую операцию: одну из данных вершин меняют на точку, симметричную этой вершине относительно серединного перпендикуляра к диагонали (концом которой она не является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту операцию последовательно применяют к вершинам $A, B, C, D, A, B, \cdots$ - всего $n$ раз. Назовем четырехугольник допустимым, если его стороны попарно различны и после применения любого числа операций он остается выпуклым. Существует ли:
а) допустимый четырехугольник, который после $n < 5$ операций становится равным исходному;
б) такое число $n_0$, что любой допустимый четырехугольник после $n = n_0$ операций становится равным исходному?
Решение:
Обозначим через $O$ точку пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям. Заметим, что эта точка остается на месте при применении любого количества операций к четырехугольнику. Обозначим углы, образованные сторонами четырехугольника и отрезками $AO, BO, CO, DO$, через $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_8$, как на рис. а. Заметим, что длины сторон не меняются при наших операциях (но меняется порядок сторон). После применения трех операций стороны четырехугольника опять будут расположены в прежнем порядке: $b, c, d, a$, а указанные углы будут расположены, как указано на рис. б.
Если четырехугольник $ABCD$ - вписанный, то $O$ - центр вписанной окружности, $OA, OB, OC$ и $OD$ - радиусы, поэтому $\alpha_1 = \alpha_2, \alpha_3 = \alpha_4, \alpha_5 = \alpha_6$ и $\alpha_7 = \alpha_8$. Значит, $\alpha_1 + \alpha_4 = \alpha_2 + \alpha_3$ и $\alpha_6 + \alpha_7 = \alpha_5 + \alpha_8$, так что четырехугольник $ABCD$ перейдет в равный ему четырехугольник за три операции.
В общем случае после шести операций стороны опять будут расположены в прежнем порядке и углы будут расположены так же, как и вначале.
Вариант решения. а) Для ответа на первый пункт задачи необязательно следить за углами $\alpha_i$. Если сразу оговорить, что четырехугольник вписанный, то останется заметить, что вписанный в данную окружность четырехугольник однозначно определяется длинами и порядком расположения сторон.
б) Можно заметить, что суммы противоположных углов четырехугольника не меняются. После шести операций получится четырехугольник с теми же длинами сторон и теми же суммами противоположных углов. Остается проверить, что четырехугольник определяется однозначно длинами сторон и суммой противоположных углов.
