Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3446
2019-06-03 
Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина $n^2d$, где $d$ - разность прогрессии, а $n$ - число ее членов?
Решение:
Обозначим сумму модулей членов арифметической прогрессии через $S$ ($S = 100$ в варианте $А$ и $S = 250$ в варианте Б). Покажем, что $n^2d = 4S$, если данная прогрессия $a_1, a_2, \cdots, a_n$ возрастает (для убывающей прогрессии решение аналогично и $n^2d = -4S$). Из условия задачи следует, что функция
$S(x) = |a_1 - x| + |a_2 - x| + \cdots + |a_n - x|$
принимает в трех различных точках одинаковые значения: $S(0) = S(-1) = S(-2) = S$. Нетрудно убедиться, что
$S(x) = \begin{cases} -nx + const & при x \leq a_1 \\ (2i - n) x + const & при a_i \leq x \leq a_{i+1}, 1 \leq i \leq n - 1 \\ nx + const & при x \geq a_n \end{cases}$.
Пусть $n = 2k + 1$ нечетно, тогда $S(x)$ убывает при $x \leq a_{k+1}$ и возрастает при $x \geq a_{k+1}$, так что эта функция не может принимать трех одинаковых значений.
Пусть $n = 2k$ четно, тогда $S(x)$ убывает при $x \leq a_k$, постоянна на отрезке $[a_k; a_{k+1}]$ и возрастает при $x \geq a_{k+1}$. Следовательно, $S = S \left (a_k + \frac{d}{2} \right )$.
Вспомним теперь, что наша последовательность является арифметической прогрессией, так что $a_k - a_i = (k - i)d$, и $S \left ( a_k + \frac{d}{2} \right ) = \left | -(k-1) d - \frac{d}{2} \right | + \left | - (k-2)d - \frac{d}{2} \right | + \cdots + \left | - \frac{d}{2} \right | + \left | \frac{d}{2} \right | + \cdots + \left | (k-1)d + \frac{d}{2} \right | = d((2k-1) + (2k-3) + \cdots + 1) = k^2d = \frac{n^2d}{4}$.
Ответ: Вариант А: $\pm 400$; вариант Б: $\pm 1000$.
Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина $n^2d$, где $d$ - разность прогрессии, а $n$ - число ее членов?
Решение:
Обозначим сумму модулей членов арифметической прогрессии через $S$ ($S = 100$ в варианте $А$ и $S = 250$ в варианте Б). Покажем, что $n^2d = 4S$, если данная прогрессия $a_1, a_2, \cdots, a_n$ возрастает (для убывающей прогрессии решение аналогично и $n^2d = -4S$). Из условия задачи следует, что функция
$S(x) = |a_1 - x| + |a_2 - x| + \cdots + |a_n - x|$
принимает в трех различных точках одинаковые значения: $S(0) = S(-1) = S(-2) = S$. Нетрудно убедиться, что
$S(x) = \begin{cases} -nx + const & при x \leq a_1 \\ (2i - n) x + const & при a_i \leq x \leq a_{i+1}, 1 \leq i \leq n - 1 \\ nx + const & при x \geq a_n \end{cases}$.
Пусть $n = 2k + 1$ нечетно, тогда $S(x)$ убывает при $x \leq a_{k+1}$ и возрастает при $x \geq a_{k+1}$, так что эта функция не может принимать трех одинаковых значений.
Пусть $n = 2k$ четно, тогда $S(x)$ убывает при $x \leq a_k$, постоянна на отрезке $[a_k; a_{k+1}]$ и возрастает при $x \geq a_{k+1}$. Следовательно, $S = S \left (a_k + \frac{d}{2} \right )$.
Вспомним теперь, что наша последовательность является арифметической прогрессией, так что $a_k - a_i = (k - i)d$, и $S \left ( a_k + \frac{d}{2} \right ) = \left | -(k-1) d - \frac{d}{2} \right | + \left | - (k-2)d - \frac{d}{2} \right | + \cdots + \left | - \frac{d}{2} \right | + \left | \frac{d}{2} \right | + \cdots + \left | (k-1)d + \frac{d}{2} \right | = d((2k-1) + (2k-3) + \cdots + 1) = k^2d = \frac{n^2d}{4}$.
Ответ: Вариант А: $\pm 400$; вариант Б: $\pm 1000$.
